Ещё пример задания:
P-27. Сколько различных решений имеет система логических уравнений
(x1 x2) (x1 x2 x3) (x1 y1) = 1
(x2 x3) (x2 x3 x4) (x2 y2) = 1
…
(x6 x7) (x6 x7 x8) (x6 y6) = 1
(x7 x8) (x7 y7) = 1
x8 y8 = 1
где x1, …, x8, y1, …, y8, – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение (вариант 1, использование свойств битовых цепочек, М.А. Ройтберг):
перепишем систему с более понятными обозначениями:
первые 6 уравнений однотипны, отличаются только сдвигом номеров переменных
будем рассматривать каждое решение как пару битовых цепочек (цепочек нулей и единиц)
и
первые сомножители в первых уравнениях,
,
означают, что в цепочке
не может быть двух нулей подряд (иначе
эта скобка в первых 6 уравнениях и всё
произведение равны нулю)вторые скобки,
,
означают, что если в цепочке
встретились две единицы подряд, то
потом будут только единицы, поскольку
в противном случае
и все произведение равно 0пока «забудем» про третьи сомножители (
);
тогда цепочка
в любом решении выглядит так: сначала
чередуются нули и единицы, а с некоторого
места идут только единицытакая цепочка полностью определяется позицией последнего нуля, т.е. есть всего 9 таких цепочек (позиция последнего нуля от 0 до 8, 0 значит, что нулей нет)
X0 = 11111111
X1 = 01111111
X2 = 10111111
X3 = 01011111
X4 = 10101111
X5 = 01010111
X6 = 10101011
X7 = 01010101
X8 = 10101010
третий сомножитель в каждом выражении – это импликация
это означает, что если (
,
)
– решение и
,
то
;
если же
,
то для
есть
два возможных значения – 0 и 1поэтому для каждого из указанных выше девяти векторов
с
количество возможных цепочек
равно
, где
–количество нулей в соответствующем
векторе
поэтому для
(нет нулей) получаем 20= 1 решение,
для
и
(один нуль) – 21= 2 решения; для
и
(два нуля) – 22= 4 решения; для
и
(три нуля) – 23= 8 решений; для
и
(четыре нуля) – 24= 16 решенийобщее количество решений системы 1 + 2*(21+ 22+23+ 24) = 1 +2*30 = 61.
ответ: 61.
Решение (вариант 2, последовательное подключение уравнений, метод отображений):
перепишем систему с более понятными обозначениями:
первые 6 уравнений однотипны, отличаются только сдвигом номеров переменных
первое и второе уравнения связаны только через пару
,
второе и третье – только через пару
и т.д.;таким образом, для того, чтобы определить количество решений системы из первых двух уравнений, нам нужно построить отображениевсех пар
на пары
;
это значит, для каждого варианта пары
определить количество различных
решений, соответствующих всем возможным
парам
покажем это на примере; рассмотрим второе уравнение:
пусть
,
тогда первая скобка равна 0 и решений
нет, никаких стрелок в таблице отображения
пока нет:
если
,
получаем уравнение
Которое имеет четыре решения:
и
могут быть любыми; при этом пара
отображается на две пары
и
на две пары
:
если
,
получаем уравнение
Здесь и
может принимать любые значения (0 или
1), а
,
всего получается 2 решения. Поскольку
,
одно решение соответствуют паре
,
а другое – паре
:
наконец, если
,
получаем уравнение
Здесь обязательно
и
,
всего одно решение, и оно соответствует
паре
:
теперь обозначим через
и
число решений, соответствующих связующим
парам (0,0), (0,1), (1,0) и (1,1), соответственнокак видно из схемы, при подключении нового уравнения эти значения преобразуются по рекуррентным формулам:
используя эти формулы, заполняем таблицу, начиная со всех значений, равных 1:
Число уравнений
0
1
2
3
4
5
6
a
1
1
2
2
4
4
8
b
1
1
2
2
4
4
8
c
1
2
2
4
4
8
8
d
1
3
5
9
13
21
29
итак, мы получили, что система из первых шести уравнений имеет всего 8+8+8+29=53 решения; теперь подключаем пятое равнение, которое связано с первыми четырьмя через пару
:
заметим, что последнее, 8-е уравнение, связано с предыдущими только через
,
поэтому, подключая 5-е уравнение, строим
отображение пары
на
:
при
решений нет
при
два решения (
),
оба при
при
одно решение (
),
отображается на
при
одно решение (
),
отображается на
из таблицы (см. выше) следует, что система из 4-х уравнений имеет
8 решений при
,
которые не дают решений системы из 7
уравнений;
8 решений при
,
которые дают по 2 решения (всего16при
);
8 решений при
,
которые дают по одному решению (всего8при
);
29 решений при
,
которые дают по одному решению (всего29при
);
всего получаем 8решений при
и45решений при
;теперь подключаем 8-е уравнение
при
последнее уравнение имеет два решение
(
),
поэтому вся система уравнений имеет
2·8 = 16 решений с
при
это уравнение имеет одно решение (
),
поэтому вся система уравнений имеет
45 решений с
Ответ: 16+45=61.
Решение (вариант 2, метод отображений, Е.А. Мирончик):
Перепишем систему не только в более понятном виде, но и соединим два последних уравнения в одно. При этом количество решений не изменится, но мы будем иметь два (а не три) вида уравнений.
Первые два уравнения имеют общую пару (x2,x3), второе и третье пару (x3,x4) и так до шестого уравнения. В первых шести уравнениях есть дополнительная переменнаяy, которая приводит к тому, что количество пар зависит от тройки переменных. На отображении отметим эту переменную маленькими значениями 0 и 1 рядом с каждой парой.
Дополнительная переменная y1 «удваивает» стрелки, идущие от пары 01.
Дерево решений:
0
1
0
0
1
1
0
1
1
0
0
1
1
1
1
1
1
Отображение уравнений 1-6:
Описанный переход применим к первым шести уравнениям. Выполнив вычисления, найдем количество разных (всех возможных) пар (x7,x8). В седьмом уравнении к этой паре добавится пара неизвестных и не встречавшихся в первых шести уравнениях пара (y7,y8).
Отображение для последнего уравнения построим из дерева решений последнего уравнения:
Дерево решений:
0
1
0
1
1
1
1
0
1
0
1
1
1
1
Отображение уравнения 7:
Выполним вычисления:
Уравнения 1-6
Уравнение 7
Пара
x1,x2
x2,x3
x3,x4
x4,x5
x5,x6
x6,x7
x7,x8
y7,y8
00
1
1
2
2
4
4
8
0
01
1
1
2
2
4
4
8
8
10
1
2
2
4
4
8
8
8
11
1
3
5
9
13
21
29
45
Ответ: 8+8+45 = 61.