Ещё пример задания:
P-30. (Муфаззалов Д.Ф., Уфа, УГАТУ) Сколько различных решений имеет система логических уравнений
(x1 x2) (x1 x3) (x1 y1)=0
(x2 x3) (x2 x4) (x2 y2)=1
(x3 x4) (x3 x5) (x3 y3)=0
(x4 x5) (x4 x6) (x4 y4)=1
(x5 x6) (x5 x7) (x5 y5)=0
(x6 x7) (x6 x8) (x6 y6)=1
где x1, …,x8,y1, …,y6, – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
Решение (метод отображения):
уравнения в нечётных строках однотипны, отличаются только сдвигом номеров переменных; уравнения на чётных строках однотипны, отличаются только сдвигом номеров переменных;
первое и второе уравнения связаны только через пару
,
второе и третье – только через пару
и т.д.;таким образом, для того, чтобы определить количество решений первого уравнения, нужно построить отображениевсех пар
на пары
;
это значит, для каждого варианта пары
определить количество различных
решений, соответствующих всем возможным
парам
;а для того, чтобы определить количество решений системы из двух первых уравнений нужно построить отображениевсех пар
на пары
;
это значит, для каждого варианта пары
определить количество различных
решений, соответствующих всем возможным
парам
;следует иметь в виду, что отображение, упомянутое в пункте 3, и отображение, упомянутое в пункте 4, будут различными; первое отображение будет применяться при нахождении количества решений из нечётного числа первых уравнений системы, а второе – чётного.
методами, описанными ранее, построим отображение переменных в уравнения на нечётных строках:
|
|
|
|
( |
(0,0) |
|
(0,1) |
(0,1) |
|
(1,0) |
(1,0) |
|
(1,1) |
(1,1) |
0,0)и отображение переменных в уравнения на чётных строках:
|
|
|
|
( |
(0,0) |
|
( |
(0,1) |
|
( |
(1,0) |
|
( |
(1,1) |
0,0)
0,1)
1,0)
1,1)Черные стрелки не увеличивают количество решений; красным цветом обозначены стрелки, которые увеличивают количество решений в 2 раза. Увеличение связано с тем, что в каждом уравнении присутствует одна переменная, которая не участвует в отображении, но может дать дополнительное количество решений.
Используя эти схемы, заполняем таблицу, начиная со всех значений, равных 1:
|
Число уравнений |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|
(0,0) |
1 |
2 |
4 |
8 |
24 |
48 |
128 |
|
(0,1) |
1 |
1 |
6 |
4 |
32 |
24 |
176 |
|
(1,0) |
1 |
2 |
2 |
12 |
12 |
64 |
64 |
|
(1,1) |
1 |
1 |
3 |
6 |
16 |
32 |
88 |
складывая значения в последнем столбце, находим, что система из 6 уравнений имеет 128+176+64+88=456 решений.
Ответ: 456.
Решение (Р.А. Еннер):
Рассмотрим первое уравнение:
(x1x2) (x1x3) (x1y1)=0
Перепишем:
(x1&x2) (x1x3) & (x1y1)=0
По закону дистрибутивности {(zx) & (zy) = z (x&y)}выносимx1из второй и третьей скобки:
(x1&x2) x1 (x3&y1)=0
По закону поглощения {(x&y) y = y}получаем:
x1 (x3&y1)=0
Аналогичным образом преобразуем все уравнения:
x1 (x3&y1)=0
x2 (x4&y2)=1
x3 (x5&y3)=0
x4 (x6&y4)=1
x5 (x7&y5)=0
x6 (x8&y6)=1
Замечаем, что эту систему можно разбить на две независимые системы:
x1 (x3&y1)=0
x3 (x5&y3)=0
x5 (x7&y5)=0
и
x2 (x4&y2)=1
x4 (x6&y4)=1
x6 (x8&y6)=1
Решаем первую систему:
x1 (x3&y1)=0
x3 (x5&y3)=0
x5 (x7&y5)=0
Замечаем, что x1,x3,x5могут быть только нулями, аy1,y3могут быть любыми.
x1
y1
x3
y3
x5
y5
x7
0
(0,1)
0
(0,1)
0
При x5=0, пара(x7, y5) может принимать 3 различных варианта, кроме (1,1)
x1
y1
x3
y3
x5
y5
x7
0
(0,1)
0
(0,1)
0
3 варианта
Итого, первая система имеет решений: 2*2*3=12
Решаем вторую систему
x2 (x4&y2)=1
x4 (x6&y4)=1
x6 (x8&y6)=1
Для первого уравнения имеем
x2
x4
y2
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Для каждого xi, начиная сx4, считаем количество нулей и единиц
x2
x4
y2
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
Единиц
Е=3
Нулей
Н=2
Замечаем как вычислить количество нулей и единиц для следующего X:
Е’=2*Е + Н
Н’=2*Е
Вычисляем:
x2
x4
x6
x8
Единиц
Е=3
Е=2*3+2=8
Е=2*8+6=22
Нулей
Н=2
Н=2*3=6
Н=2*8=16
Итого вторая система имеет решений: 16+22=38
Т.к. первая система и вторая система независимы друг от друга, то имеем общее количество решений: 38*12=456
Ответ: 456.