© К. Поляков, 2009-2015

6-1(базовый уровень, время – 4 мин)

Тема: Выполнение и анализ простых алгоритмов.

Что нужно знать:

• сумма двух цифр в десятичной системе счисления находится в диапазоне от 0 до 18 (9+9)

• в некоторых задачах нужно иметь представление о системах счисления (могут использоваться цифры восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления)

• бит чётности– это дополнительный контрольный бит, который добавляется к двоичному коду так, чтобы количество единиц в полученном двоичном коде стало чётным; если в исходном коде уже было чётное количество единиц, дописывается 0, если нечётное – дописывается 1.

• при добавлении к двоичной записи числа нуля справа число увеличивается в 2 раза

Пример задания:

Р-08. На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия – справа дописывается остаток от деления суммы цифр на 2.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R. Укажите минимальное число N, после обработки которого с помощью этого алгоритма получается число, большее, чем 137. В ответе это число запишите в десятичной системе.

Решение:

1. фактически к числу дважды дописывается бит чётности, причем уже после шага «а» у нас всегда получится чётное число единиц, поэтому шаг «б» всегда добавит ноль

2. если в конце двоичной записи числа стоит 0, значит, оно чётное; поэтому мы в результате работы алгоритма должно обязательно получиться чётное число

3. по условию, мы должны получить чётное число, большее 137; числа-кандидаты – 138, 140, 142, 144, …

4. проверяем число 138: после выполнения шага 2б оно увеличилось вдвое (приписали 0), поэтому до выполнения этого шага у нас было число 138 : 2 = 69 = 1000101₂; в этом двоичном коденечётноечисло единиц (3), поэтому оно не подходит по условию (после шага 2а количество единиц должно стать чётным, так как мы добавили бит чётности)

5. проверяем следующее число-кандидат: 140 : 2 = 70 = 1000110₂, тут тоже 3 единицы, оно тоже не подходит

6. следующее чётное число, 142, при делении на 2 даёт число 71 = 1000111_2, которое содержит чётное число единиц, поэтому оно могло быть получено после шага «а» алгоритма; на этом шаге к нему был добавлен бит чётности, выделенный жёлтым фоном

7. убираем последний бит числа 71 (бит чётности), получаем 35 = 100011₂

8. Ответ: 35.

Ещё пример задания:

Р-07. На вход алгоритма подаётся натуральное число N. Алгоритм строит по нему новое число R следующим образом.

1) Строится двоичная запись числа N.

2) К этой записи дописываются справа ещё два разряда по следующему правилу:

а) складываются все цифры двоичной записи, и остаток от деления суммы на 2 дописывается в конец числа (справа). Например, запись 11100 преобразуется в запись 111001;

б) над этой записью производятся те же действия – справа дописывается остаток от деления суммы цифр на 2.

Полученная таким образом запись (в ней на два разряда больше, чем в записи исходного числа N) является двоичной записью искомого числа R. Укажите минимальное число R, которое превышает 43 и может являться результатом работы алгоритма. В ответе это число запишите в десятичной системе.

Решение:

1. фактически к числу дважды дописывается бит чётности, причем уже после шага «а» у нас всегда получится чётное число единиц, поэтому шаг «б» всегда добавит ноль

2. если в конце двоичной записи числа стоит 0, значит, оно чётное

3. минимальное чётное число, которое превышает 43, это 44, но число, полученное из 44 отбрасыванием последнего нуля в двоичной записи (то есть, делением на 2!), 22 = 10110₂, содержит нечётное число единиц, что не допускается по условию – после шага «а» число единиц двоичной записи должно быть чётным

4. следующее чётное число, 46, при делении на 2 даёт число 23 = 10111_2, которое содержит чётное число единиц, поэтому оно могло быть получено после шага «а» алгоритма.

5. Ответ: 46.