Рис. 2.10 Жесткая заделка

СИСТЕМА СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

Сложение и разложение сил. Проекция силы на ось и на плоскость.

В соответствии с аксиомой сложения сил, две силы, приложенные к одной точке можно заменить одной — равнодействующей, которая находится по правилу параллелограмма или по правилу треугольника. Легко обобщить это правило на тот случай, когда к одной точке приложено более двух сил. Для нахождения их равнодействующей необходимо из конца первого вектора провести второй вектор и т. д. Поясним это на рис.2.11.

Рис.2.11 Равнодействующая сходящейсясистемы сил

Полученный многоугольник называется силовым, замыкающая сто-

рона которого — вектор R , определяет вектор равнодействующей, направлен из начала первого вектора силы в конец последнего вектора силы.

Решение задачи об определении суммы нескольких векторов (векто-

раR ) является единственным и не зависит от того, в каком порядке складываются слагаемые векторы.

44

Противоположный по смыслу алгоритм — разложение векторов, не имеет единственного решения, до тех пор, пока не заданы сами направления разложения сил.

Например, силуF , расположенную в плоскости (рис.2.12), можно разложить по взаимно перпендикулярным осям Ax иAy , а можно и по лю-

ξ

Рис.2.13 Проекции силы на плоскости

Рассмотрим понятие проекции силы на ось. Проекцией силы на заданную ось, напримерO ξ , называется скалярное произведение вектора силы F на единичный векторeξ , характеризующий положительное на-

правление оси, т. е.

Fξ = F eξ = F cos(α)

Угол α находится между положительным направлением оси O ξ и на-

правлением вектора силыF . В том случае, когда 90o <α < 270o проекция

Fξ < 0 , т. к. cos(α)< 0 . Модуль этой проекции удобно вычислять через

45

угол β =180o −α . В соответствии с определением проекции силы F и

скалярного произведения векторов можно записать

Fξ = Fξ eξ = F cos(α) eξ = −F cos(β) eξ

Вернемся к вопросу о разложении силы и рассмотрим эту процедуру в пространственном случае. Часто встречаются два варианта разложения: в первом случае (рис.2.13 а) ориентация вектора в пространстве задана дву-

мя углами α — между осью Ox и направлением составляющей силы F ,

лежащей в плоскости yOx . и углом γ — между вектором F и его состав-

ляющей вдоль осиOz ; во втором случае (рис.2.13 б) положение вектора F

определяется тремя углами между направлением вектора F и положительными направлениями соответствующих осей: β, γ, ϕ .

Рис.2.13 Проекции силы впространстве

Вначале разложим вектор F по двум направлениям Oz и Oξ . Ось

Oξ расположена в плоскости, проходящей через вектор силы F и ось Oz:

F = Fz + Fxy ; Fz = F cos(γ ), Fxy = F sin (γ ).

Вектор Fxy раскладывается по горизонтальным осям Ox иOy .

Fxy = Fx + Fy ; Fx = Fxy cos(α)= F sin (γ )cos(α),

Fy = Fxy sin (α)= F sin (γ )sin (α).

Окончательно: F = Fx + Fy + Fz

Последняя формула будет справедлива и при втором способе задания ориентации вектораF . В этом случае известны углы между вектором F и

46

Введённые понятия позволяют перейти к условиям равновесия системы сходящихся сил.

Сходящаяся система сил. Условия равновесия систем сходящихся сил.

Сходящейся называют такую систему сил, линии действия которых пересекаются (сходятся) в одной точке.

Перенося силы вдоль линий их действия можно собрать сходящуюся систему в одной точке — точке пересечения линий действия сил. Далее, находим равнодействующую такой системы сил. Она равна векторной сумме этих сил. Система сходящихся сил будет уравновешенной (эквивалентной нулю) в том случае, когда ее равнодействующая равна нулю,

т. е. уравнение ∑Fk = 0 является необходимым и достаточным условием

k

равновесия системы сходящихся сил.

В плоском случае векторное условие равновесия эквивалентно двум скалярным уравнениям, которые мы получим, взяв проекции векторного равенства на оси, лежащие в плоскости действия сил:

∑FkX = 0, ∑FkY = 0

kk

Втрехмерном случае к этим уравнениям добавится еще одно незави-

симое уравнение ∑FkZ = 0

k

Следует подчеркнуть независимость этого числа (2 — в плоском и 3

— в пространственном случаях) уравнений. Можно составить сколько угодно подобных уравнений, выбрав в качестве осей какие угодно линии,

47