вращения, которая является в текущий момент общей для неподвижного и подвижного аксоидов.

Ускорение точки тела

Ускорение произвольной точки тела может быть определено по формуле Ривальса:

a = v = dtd (ω ×r )=ω ×r +ω ×r = ε ×r +ω×(ω×r )= a вp + aoc

где a вp =ε ×r — вращательное ускорение, направленное перпендикулярно к векторам ε и r (рис.1.7);

ε — угловое ускорение тела, совершающего сферическое движение. Вектор углового ускорения направлен вдоль мгновенной оси ускорений, которая определяется из условия равенства нулю вращательного ускорения произвольной точки оси ускорений;

aoc =ω ×v =ω ×(ω ×r )=ω(ω r )− r (ω ω)— осестремительное ускорение,

перпендикулярное векторам ω и v (рис.1.7).

СОСТАВНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ

Механические явления по–разному фиксируются в различных системах отсчёта. Наблюдатели, связанные с разными системами координат, по–разному воспринимают одно и то же объективное механическое явление. Главной задачей кинематики составного движения является установление связи между кинематическими характеристиками, полученными в различных системах отсчёта. Одна из этих систем условно называется неподвижной системой. Вторая — подвижной системой отсчета (рис.1.8).

Движение относительно условно неподвижной системы координат O xyz называется абсолютным. Движение точки относительно системы ко-

ординат O1ξ1ξ2ξ3 , движущейся, в свою очередь, относительно условно не-

подвижной (рис.1.8), называется относительным. Переносным движением

22

называется движение подвижной системы O1ξ1ξ2ξ3 . Переносным движени-

ем точки М называется движение точки M ′, принадлежащей подвижной системе координат и совпадающей в данный момент времени с точкой M . Различаются абсолютные, относительные, переносные траектории, скорости и ускорения точки M .

Рис. 1. 8. Составное движение точки

Абсолютной или относительной траекторией, скоростью и ускорением называется траектория, скорость и ускорение в абсолютном или относительном движении.

Переносной траекторией точки называют элементарный отрезок траектории точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает исследуемая точка. Переносной скоростью и ускорением точки называется скорость и ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент времени совпадает исследуемая точка.

Относительные скорость и ускорение будем обозначать vr и ar . Ин-

декс "r" — начальная буква французского слова relative (относительный). Переносные скорость и ускорение будем обозначать ve и ae . Индекс

"е" — от французского слова d'entainement (переносный).

23

Дифференцирование вектора в подвижных координатах (Формула Бура)

Пусть вектор ρ представлен в подвижной системы координат в виде

(рис.1.8):

ρ = ρ1 e1 + ρ2e2 + ρ3e3 .

Возьмём производную вектора ρ по времени, учитывая, что орты подвижной системы координат изменяются по направлению:

ddρt = ddρt1 e1 + ddρt2 e2 + ddρt3 e3 + ρ1 ddet1 + ρ2 ddet2 + ρ3 ddet3 .

Первые три слагаемые этой формулы дают нам относительную производную, обозначаемую как:

dd′ρt = ddρt1 e1 + ddρt2 e2 + ddρt3 e3 .

Производная от единичного вектора — т. е. скорость конца этого вектора равна

Учитывая данное равенство, последние три слагаемых можно преобразовать следующим образом

ρ1 ddet1 + ρ2 ddet2 + ρ3 ddet3 =ωe ×(ρ1 e1 + ρ2e2 + ρ3e3 )=ωe ×ρ .

Окончательно производная вектора ρ по t будет записываться соот-

ношением:

ddρt = ρ = dd′ρt +ωe ×ρ ,

24