
- •Кафедра информатики и вычислительной техники
- •Оглавление
- •Элементы теории погрешностей абсолютная и относительная погрешности
- •Контрольные вопросы
- •Численные методы решения нелинейных уравнений Способы отделения корней уравнений
- •Контрольные вопросы
- •Решение нелинейных уравнений методами бисекций и хорд
- •Контрольные вопросы
- •Решение нелинейных уравнений методом ньютона и комбинированным методом
- •Контрольные вопросы
- •Решение нелинейных уравнений методом простых итераций
- •Контрольные вопросы
- •Численные методы решения системлинейных уравнений Решение систем линейных уравнений методом простых итераций методом зейделя
- •Контрольные вопросы
- •Аппроксимация экспериментальных данных аппроксимация методом наименьших квадратов
- •Контрольные вопросы
- •Численное интегрирование приближенное решение определенных интегралов
- •Контрольные вопросы
- •Численное решение дифференциальных уравнений приближенное решение обыкновенных дифференциальных уравнений
- •Контрольные вопросы
- •Линейное программирование
- •Контрольные вопросы
- •Литература
- •Приложения
Контрольные вопросы
Метод бисекций решения нелинейных уравнений.
Графическая реализация метода бисекций.
Метод хорд решения нелинейных уравнений.
Графическая реализация метода хорд.
Решение нелинейных уравнений методом ньютона и комбинированным методом
Метод
Ньютона (касательных).Пусть
–
отрезок, содержащий только один корень
уравнения
.
В
качестве начального приближения к корню
выбирается одна из концевых точек
отрезка, для которой выполняется условие
Следующее приближение находится по формуле Ньютона:
Вычисления
завершаются тогда, когда для найденного
значения
выполняется условие
,
значение корня будет равно
.
Геометрическая интерпретация – построение касательных на каждом шаге итераций и нахождение их точек пересечения с осью Ох, которые и будут являться приближенным значением корня.
Пример
1:
Найти корень уравнения
методом касательных с точностью
Выбираем один из найденных отрезков, содержащих только один корень. Для выбранного отрезка находим точку начального приближения.
Для
каждого из концов отрезка проверяем
условие, обязательно оно будет выполнено
только в одной точке и именно ее выбираем.
В нашем случае это точка .
В ячейкуА2, В2 (рис. 11) записываем исходные данные. В ячейку А5записываем ссылку на А2. В ячейку В5 формулу метода Ньютона, аргументом будет относительная ссылка А5. Заполнить остальные ячейки самостоятельно.
В А6 записать ссылку на ячейкуВ5.Далее с помощью автозаполнения находим корень.
Рис. 11. Вид экрана для метода Ньютона (касательных)
Комбинированный
метод хорд и касательных. Пусть
–
отрезок, содержащий только один корень
уравнения
Приближение
к корню происходит с двух сторон отрезка,
на котором отделен корень уравнения,
разными методами.
В
качестве начального приближения методом
касательных выбирается одна из концевых
точек отрезка, для которой выполняется
условие
,
другой конец отрезка при этом приближается
методом хорд.
Пусть,
например,
тогда итерационные формулы будут
выглядеть следующим образом:
Если
итерационные формулы примут вид:
Вычисления
завершаются тогда, когда для найденных
значений выполняется условие
,
значение корня принимается равным
середине отрезка или любому из его
концов.
Геометрическая интерпретация – построение касательных и хорд на каждом шаге итераций и нахождение их точек пересечения с осью Ох.
Пример
2:
Найти корень уравнения
комбинированным
методом касательных и хорд с точностью
Выбираем один из найденных отрезков, содержащих только один корень.
Для
каждого из концов отрезка проверяем
условие
.
В нашем случае это точка
.
Для
вычисления корня комбинированным
методом (рис. 12) в ячейкиА5,
В5записываем
относительные ссылки на исходные
концевые точки отрезка, далее находим
значение данной функции в этих точках
С5,
D5.В
ячейку Е5,записываем
формулу производной функции
и аргументом будет
В ячейку F6записываем
формулу оценки погрешности и поиска
корня.
В ячейкиА6, В6 записываем формулы, с аргументами из пятой строки:
(ячейкаА6),
(ячейкаB6).
С помощью маркера автозаполнения находим ответ.
Рис. 12. Вид экрана для комбинированного метода
Задания для самостоятельного выполнения.
Из таблицы 2 приложения взять исходные данные своего варианта. Вариант определяется по порядковому номеру в списке группы. Найти корни уравнения методом касательных и комбинированным методом для всех отрезков, содержащих единственный корень.