§2.4. Понятие условной вероятности

Пусть в пространстве  задано два произвольных совместных события A и B.

АВ



А

В

Рис. 6 Совместные события

Через N(A) обозначим число элементарных исходов, входящих в событие A. Через N(B) − число элементарных исходов, входящих в событие B., через N(А∙B) — число общих элементарных исходов в событиях А и В, а через N – общее число исходов (см. рис. 6). Тогда по формуле классической вероятности ,, причем.

Условной вероятностью события А при наличии события В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р (А/В) и вычисляется по формуле . То есть, для вычисления условной вероятности мы составляем пропорцию, как общие исходы событий относятся к числу элементарных исходов события, которое произошло. Если числитель и знаменатель последней дроби разделить наN, то получим формулу.

Примеры.

1. Из колоды, состоящей из 52 карт, извлекается одна карта. Событие A – красная масть, событие B – десятка. Вычислить Р (А/В) и Р (B/A).

Первая условная вероятность − это вероятность выпадения красной масти при условии, что вытащили десятку, а событие A∙B – это красная десятка. Тогда по формуле . Вторая условная вероятность − это вероятность выпадения десятки при условии, что вытащили красную масть. Тогда по формуле.

2. В терапевтическом отделении больницы 70 % пациентов — женщины, а 21 % — курящие мужчины. Наугад выбирают пациента. Он оказывается мужчиной. Какова вероятность того, что он курит?

Пусть событие означает, что пациент — мужчина, а событие— что пациент курит. Тогда по условиюа. Поэтому по формуле условной вероятности искомая вероятность.

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий условные вероятности равны безусловным: Р (А / В) = Р (А); Р (В / А) = Р (В).

Для проверки двух событий на зависимость вычисляют искомую и условную вероятность и сравнивают их между собой.

Пример.

Из колоды, состоящей из 52 карт, извлекается одна карта. Событие A – красная масть, событие B – десятка. Проверить, зависимы эти события или нет.

Находим . Условная вероятность. Следовательно, событияA и B независимы.

Этот же результат даст и другая комбинация.

Находим . Условная вероятность. И они тоже равны между собой.

Задания для самостоятельного решения:

1. Из стандартного набора домино берется наудачу одна кость. Какова вероятность того, что эта кость будет дублем, если известно, что сумма очков на ней — четное число.

2. Вероятность попадания в цель равна 0,7, а вероятность осечки при выстреле равна 0,2. Стрелок прицеливается и стреляет. Найти вероятность того, что цель будет поражена.

3. Бросаются две игральные кости. Найти вероятность выпадения двух «шестерок», если известно, что сумма выпавших очков делится на три.

4. Результаты экзаменов в некоторой группе показывают, что 8% студентов не сдали математику, 6% не сдали историю, а 2% не сдали оба этих экзамена. Наугад выбирается студент. Будут ли события «выбранный студент не сдал математику» и «выбранный студент не сдал историю» независимыми?