Контрольные вопросы и задания

1. Сформулируйте основные цели математической статистики.

2. Статистические аналоги каких понятий из теории вероятностей вы встретили?

3. Выпишите расчетные формулы основных характеристик вариационного ряда.

4. Опишите способы графического представления выборки.

Список основной литературы

1. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 12-е изд., перераб. - М. : Юрайт : Высш. образование, 2009. - 478. 

2. Кремер, Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / Н. Ш. Кремер. - 2-е изд., перераб. и доп. - М. : ЮНИТИ, 2007. - 573 с. 

3. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие для студентов вузов / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М. : Высш. образование, 2009. – 403.

4. Практикум по математике : для студентов очной формы обучения. Ч. 3 / Рос. акад. гос. службы при Президенте Рос. Федерации, Сиб. акад. гос. службы ; сост. : А. Л. Осипов, Е. А. Рапоцевич. - Новосибирск, 2008. - 76 с.

Список дополнительной литературы

1. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике : учеб. пособие / В. Е. Гмурман. - 11-е изд., перераб. - М.: Высш. образование, 2006. - 404 с.

2. Фадеева Л.Н. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика: курс лекций / Л. Н. Фадеева. - М.: Эксмо, 2006. – 399 с.

3. Шапкин А.С. Задачи по высшей математике, теории вероятностей, математической статистике, математическому программированию с решениями : учеб. пособие / А. С. Шапкин. - 4-е изд. - М. : Дашков и К, 2007. - 432 с.

4. Кузнецов, С.Б., Рапоцевич Е.А. Теория вероятностей и математическая статистика. Часть II. Сборник задач и упражнений.  Новосибирск: СибАГС, 1997. – 136 с.

Тема 5. Статистические оценки параметров распределения §5.1 Точечные оценки

Пусть для случайной величины Xизвестен вид закона распределения. Скажем, известно, чтоXраспределено по нормальному закону. Нормальный закон распределения определяется двумя параметрамиm=M[X] и=(X). Пусть над случайной величинойXпроведеноnнезависимых наблюдений, в которых она приняла значения x₁, x₂,..., х_n, т.е. известны данные случайной выборки. Спрашивается, как по этим данным найти неизвестные параметры распределения с достаточно хорошим приближением? Другими словами, требуется найти некоторую функцию от данных выборки, которая давала бы приближенную оценку искомого параметра.

Статистической оценкой ^*неизвестного параметра теоретического распределения называется функцияf(x₁, x₂,..., х_n) от данных выборки, дающая приближенную оценку искомого параметра .

Статистическая оценка  ^*сама является случайной величиной, так как она есть функция независимых случайных величин x₁, x₂,..., х_n. Если произвести другую выборку, то ^* примет другое значение. Для того, чтобы оценка ^*не давала систематической ошибки, надо потребовать, чтобы математическое ожидание ^*было равно оцениваемому параметру:M[^*]=.

Статистическая оценка, удовлетворяющая требованию M[^*]=, называетсянесмещенной.

Несмещенная оценка может дать плохое приближение для параметра, если дисперсия D(^*) велика, так как тогда достаточно вероятны большие отклонения найденного значения^*отM[^*], т.е. от оцениваемого параметра. Поэтому к условию несмещенности добавляют требование, чтобы при заданном объеме выборкиn, ^*имело наименьшую возможную дисперсию.

Статистическая оценка  ^*, удовлетворяющая условию несмещенности и имеющая наименьшую возможную дисперсиюD(^*) при заданном объеме выборки, называетсяэффективной.

Статистическую оценку ^*называютсостоятельной, если при неограниченном увеличении объема выборки она стремится по вероятности к оцениваемому параметру, т.е. еслидля любого заданного>0.

Оказывается, выборочная средняя является несмещенной, состоятельной оценкой генеральной средней, т.е. математического ожидания. Исправленная выборочная дисперсияS²является несмещенной, состоятельной оценкой генеральной дисперсии.