§4.2. Вариационный ряд и статистическое распределение выборки

Пусть в результате выборки объема n, т.е. приnнезависимых испытаниях, исследуемый количественный признакдискретная случайная величинаXпринялn₁раз значение x₁,n₂раззначение x₂, …,n_kраззначение x_k. Таким образом,n₁+n₂+ …+n_k =n. Значения x₁, x₂,..., х_k, называемые иногда наблюдаемыми значениями случайной величиныX, можно считать расположенными в порядке возрастания: x₁ x₂...х_k.

Последовательность значений x₁, x₂,..., х_k, исследуемой случайной величиныX, расположенных в неубывающем порядке и принимаемых ею в результате выборки объема n с частотами соответственно n₁, n₂, …, n_k, где n₁+ n₂+ …+ n_k = n, называетсявариационным рядом, а каждое значение x_i(i= 1, 2, …,k)вариантой. То есть, вариационный ряд можно определить как последовательность наблюдаемых значений исследуемой случайной величины, расположенных в неубывающем порядке. Частоты n₁, n₂, …, n_k, соотнесенные к объему выборки, т.е., называются относительными частотами.

Теоретическим законом распределения случайной величины Xназывается закон распределения количественного признака в генеральной совокупности. Теоретический закон распределения записывается в виде таблицы, в верхней строке которой расположены все значения случайной величины (т.е. все объекты генеральной совокупности), а в нижнейсоответствующие им вероятности.

Статистическим распределением выборки называется перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот.

Пример.

Записать в виде вариационного ряда выборку 5, 3, 7, 10, 5, 5, 2, 10, 7, 2, 7, 7, 4, 2, 4. Определить размах и статистическое распределение выборки.

Объем выборки n=15. Упорядочив элементы выборки по величине, получим вариационный ряд 2, 2, 2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7, 10, 10. Разность между максимальным и минимальным элементами выборки называется размахом выборки, который в нашем случае равен 10 –2 =8. Различными в заданной выборке являются элементы х₁=2, х₂=3, х₃=4, х₄=5, х₅=7, х₆=10; их частоты соответственно равны n₁=3, n₂=1, n₃=2, n₄=3, n₅=4, n₆=2. Следовательно, статистическое распределение исходной выборки можно записать в виде следующей таблицы:

xi	2	3	4	5	7	10
ni	3	1	2	3	4	2

Задания для самостоятельного решения:

Для каждой из приведенных ниже выборок определить размах, построить вариационный ряд и определить статистическое распределение выборки.

1. 11, 15, 12, 0, 16, 19, 6, 11, 12, 13, 16, 8, 9, 14, 5, 11, 3.

2. 17, 18, 16, 16, 17, 18, 19, 17, 15, 17, 19, 18, 16, 16, 18, 18.

Эмпирический закон распределения отличается от теоретического закона, прежде всего тем, что вместо вероятностей значений величины в таблице выписываются относительные частоты.

Эмпирической функцией распределения, или функцией распределения выборкиF^*(x), называется функциягдеnобщее число наблюдений, аn(x)число наблюдений, для которых оказалосьX<x.

Эмпирическая функция распределения F^*(x) отличается от теоретической интегральной функции распределенияF(x) тем, что вместо вероятности события {X<x} берется относительная частота этого события.

Свойства эмпирической функции распределения:

1. F^*(x)[ 0, 1];

2. F^*(x)неубывающая функция;

3. если x₁наименьшая, а х_kнаибольшая из вариант, тоF^*(x) = 0 приx< x₁иF^*(x)= 1 приx> х_k.

Пример.

Задан эмпирический закон распределения.

xi	2	6	10
ni	12	18	30

Построим эмпирическую функцию распределения.

Объем выборки n=12+18+30=60. Тогда эмпирическая функция распределения имеет вид:

Задание для самостоятельного решения:

Построить эмпирическую функцию распределения для выборки, представленной следующим статистическим распределением.

хi	15	16	17	18	19
ni	1	4	5	4	2