§3.4. Непрерывные случайные величины и основные законы распределения

Непрерывная случайная величина Х называется равномерно распределенной в интервале ( ), если ее плотность распределения в этом интервале постоянна:

,

где запись х   означает: «х лежит на участке от  до », а х   означает: «х не лежит на участке от  до ». График функции плотности равномерного распределения приведен на рис. 9.

Рис. 9 Функция плотности равномерного распределения.

Интегральную функцию непрерывной случайной величины, имеющую равномерное распределение, можно записать в виде

Соответствующий график приведен на рис. 10.

Рис. 10 Функция равномерного распределения

Непрерывная случайная величина Х называется распределенной по нормальному закону с параметрами ,если ее плотность распределения равна . Соответствующий график носит название нормальной кривой (рис. 11).

Рис. 11 Функция плотности нормального распределения.

Вероятность попадания случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, в интервал ( ) выражается формулой где — табулированная функция Лапласа. Имеет место также следующая оценка .

Интегральная функция нормально распределенной случайной величины также представляется через функцию Лапласа . Ее график приведен на рис. 12.

Рис. 12 Функция нормального распределения

График интегральной функции распределения F(x) центрально симметричен относительно точки ( m, 0,5 ).

Если случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами m = 0, σ = 1, то такая величина называется нормализованной и ее функция плотности имеет вид

φ.

Значение этой функции табулировано и может быть найдено в соответствующих вероятностных таблицах (см. таблицу 1 в приложении). Случайная величина, имеющая стандартное нормальное распределение , будет обозначаться через Z. Интегральную функцию нормализованной случайной величины обозначим через . Ее табулированные значения приведены в приложении в таблице 2. Интегральная функция произвольной нормально распределенной случайной величины можно представить в видеи найти ее значение по таблице. Итоговое соотношение для вычисления вероятности попадания в интервал примет вид

и

Пример.

Производителю электрических ламп известно, что средний срок работы лампы составляет 600 часов, а стандартное отклонение от этого срока 40 часов. Определить, какова вероятность , что срок работы случайно выбранной из партии лампы будет менее 700 часов, менее 550 часов, попадет в интервал от 550 до 700 часов.

Пусть X – это средний срок работы лампы. Эта случайная величина имеет нормальное распределение. В задаче просят вычислить ,и.

Имеем m=600, σ=40. Перейдем к нормализованной величине , иX=700 будет соответствовать Z=25. Тогда

Последнее значение мы нашли по таблице 2 в приложении.

Аналогично .

Так как в таблице нет отрицательных значений аргумента, то здесь мы воспользовались свойством функции :.

И, наконец,

Кроме этого мы встретимся с распределениями , Стьюдента и Фишера. Для них мы будем использовать следующие обозначения:

—случайная величина, имеющая распределение с k степенями свободы,

—случайная величина, имеющая распределение Стьюдента с k степенями свободы,

—случайная величина, имеющая распределение Фишера с k₁ и k₂ степенями свободы.

Таблицы значений функции для этих распределений также приведены в приложении в конце пособия.

Квантилью порядка р распределения случайной величины Х называется действительное число , удовлетворяющее уравнению

Квантили порядка р основных распределений обозначаются соответственно