Дискретна математика

Єдине, про що можна говорити в L - це про виведення теорем. Місця поняттю істинності там немає. Значення істинності формулі можна приписати тільки завдяки вищезгаданій взаємооднозначній відповідності, тобто інтерпретуючи формулу.

Таким чином, числення L буде повним, тобто здатним розв‘язати проблему встановлення істин із , коли ми доведемо, що множини та співпадають, тобто кожна істина є теоремою і кожна теорема є істи-

ною. Якщо згадати, що, говорячи про істини , ми маємо на увазі абсолютно істинні судження (висловлювання), то властивість повноти може бути сформульована у вигляді наступної

Метатеорема 6.10. Числення висловлювань L повне, тобто в ньому виводяться ті і лише ті формули, які є абсолютно істинними.

Доведення.

Пряма метатеорема.

Нехай деяка формула A - теорема в L. Покажемо, що вона абсолютно істинна. Оскільки всі теореми є результатом виведення, то потрібно показати, що всі аксіоми є абсолютно істинними формулами, а правило виведення Modus Ponens при абсолютно істинних засновках гарантує абсолютну істинність висновку.

Абсолютна істинність аксіом перевіряється за допомогою таблиць істиності.

(А1) A (B A) ;

(А2) (A (B C)) ((A B) (A C));

Про наявність необхідна властивість у правила виведення висновок робимо, базуючись на результаті теореми 6.2.

Обернена метатеорема.

Нехай формула A, що складється з пропозиційних літер А1, ..., Аn , є абсолютно істинною формулою. Покажемо, що існує її вивід. Побудуємо для формули А таблицю істинності:

141

У зв‘язку з тим, що формула А абсолютно істинна, за метатеоремою 6.7 її можна вивести з кожної із

заперечення у всіх парах множин гіпотез. Множину гіпотез, що залишилася, також розбиваємо на пари, в кожній із яких вони будуть відрізнятися лише значенням An-1.

Повторюючи цю процедуру ми можемо позбутися всіх гіпотез, тобто побудувати вивід формули А без гіпотез. Але тоді A.

Метатеорема доведена.

Таким чином, ми показали, що встановлення абсолютної істинності формули еквівалентно її виведенню. Але виведення є синтаксичним поняттям, в той час як істинність є семантичним поняттям. Отже, навчивши компьютер будувати виводи, ми навчимо його ―розуміти‖ істинність. В цьому полягає фундаментальна ідея, яка широко використовується в системах штучного інтелекту.

Розглянемо ще один важливий аспект поняття повноти числення. Припустимо, що множина теорем не збігається з множиною абсолютно істинних формул. Кажуть, що таке числення не повне. Немає сенсу створювати числення, в якому можна виводити формули, що не представляють собою істин певної сфери діяльності. Тоді залишається тільки, що неповнота числення пояснюється тим, що множина теорем

числення є підмножиною істин. Тобто існує істина, що належить множині \ така, що не може бути побудований її вивід у данному численні. Пізніше ми наведемо приклади числень, які не є повними.

Важливою характеристикою співвідношення теорем та абсолютно істинних формул числення L є те, що жодна з формул, яка не є абсолютно істинною, не може бути приєднана до множини аксіом числення L без порушення її несуперечливості.

Студент групи ІС-22 В.Ткаченко навів цікавий варіант доказу того факту, що приєднання довільної формули А, що не є абсолютно істинною, до аксіом числення L перетворює останнє на суперечливе.

Нехай А1, ..., Аn - пропозиційні літери формули А. За умовою таблиця істинності формули А має не менш, ніж один рядок, в якому А набуває значення F.

Тоді побудуємо на базі цього рядка формулу С з формули А таким чином: всі входження літери Аі в А замінюємо на формулу A і A і , якщо у цьому рядку Аі набуває значення Т, та - на A і A і , якщо в цьому рядку Аі набуває значення F.

Очевидно, формула С є абсолютно хибною. Тоді формула С є абсолютно істинною. В численні L, виходячи з його повноти, формулу С можна вивести. В той же час формула С є аксіомою нового числення за схемою А. Тоді С також може бути виведеною. Отже на підставі цього робимо висновок про суперечливість нового числення.

Слід зазначити також, що повнота числення висловлювань забезпечує не тільки вирішення проблеми встановлення абсолютної істинності висловлювань. Вона дозволяє також, причому тими ж засобами, вирішити проблему встановлення умов абсолютної істинності. Дійсно, такою умовою є виведення висловлювання в численні L. Не можна сказати, що цю умову легко перевірити, але ж тут мова йде про принципове розв‘язання поставленої проблеми.

120.Несуперечливість числення висловлюв нь L

Нехай в численні висловлювань L можна вивести формули A іA. За метатеоремою 6.6 (пункт в)

формула A (A B) є теоремою числення L. Двічі використовуючи правило виведення, отримаємо В. Таким чином, якби числення було суперечливим, то в ньому можна було б вивести будь-яку формулу. Але

тоді числення L втратило б практичну цінність як засіб відбору істин, адже множини Т і в цьому випадку співпадали б.

Тепер, щоб показати, що числення висловлювань L несуперечливе, потрібно показати, що в ньому є хоч би одна формула, що не виводиться.

Справедлива наступна

Метатеорема 6.11. Числення висловлювань L несуперечливе, тобто в L не існує формули A такої,

що A іA є теоремами числення висловлювань L.

Доведення. Доведення побудоване на основі теореми про повноту. Нехай виводиться деяка формула

A. За метатеоремою про повноту вона є абсолютно істинною. Тоді формула A - не є абсолютно істинною формулою. Виходячи з цього, за метатеоремою про повноту робимо висновок, що вона не виводиться. Отже,

неможливо, щоб A іA були теоремами числення L.

Метатеорема доведена.

142