Дискретна математика

Доведення. (а) За лемою 5.5 Pk є єдиним для будь-якого k 1 і, отже, Pn-1 = P є єдиним. Так як при визначеному P побудова Mmin з М є єдиною, не враховуючи позначення, то Mmin є єдиною з точністю до ізоморфізму.

(б) Розглянемо яку-небудь вхідну послідовність i1, i2, …, il, прикладену до М|a(u). Нехай відповідна послідовність станів буде a(u1), a(u2), …, a(ul) і відповідна вихідна послідовність буде j1, j2, …, jl...

Тепер нехай та ж вхідна послідовність прикладена до Mmin| a u. За умовою (5.20), на підставі якої будується Mmin по M, відповідна послідовність станів повинна бути a u1, a u2, ..., a ul і відповідна вихідна послідовність повинна бути j1, j2, …, jl... Оскільки в приведених міркуваннях l і u є довільними, то, отже, будь-який стан М, що належить класу еквівалентності u, є еквівалентним стану a u автомата Mmin. Таким чином, для кожного стану Mmin ми знаходимо еквівалентний стан М і для кожного стану М знаходимо еквівалентний стан М, що означає, що Mmin = М.

(в) Нехай a u і a v є двома будь-якими станами Mmin (u v). З доведення частини (б) випливає, що au еквівалентний станам М, що належать класу еквівалентності v, а a v еквівалентний станам М, що належать класу еквівалентності v. Оскільки жодний стан із класу u не еквівалентний ніякому стану з класу v, то стани a u і a v автомата Mmin повинні бути розрізненими.

ГЦ

ГГ

(Ц/0)

(Г/1)

Рис. 5.10.

(г) Припустимо, що є автомат М , еквівалентний М і менший Mmin. Оскільки Mmin = М и М = М, то це значить, що М = Mmin і що кожен стан Mmin є еквівалентним деякому стану М . Так як Mmin більше, ніж М', то є, принаймні, два стани Mmin, що еквівалентні тому самому стану М і, отже, еквівалентні один одному. Однак, відповідно до частини (в) теореми, це неможливо, що доводить від супротивного той факт, що не існує автомата, еквівалентного М, і меншого, чим Mmin. Теорема доведена.

Автомат, що є своєю мінімальною формою і тому не має еквівалентного собі меншого автомата, називається мінімальним автоматом. Автомат, що має n станів і n класів еквівалентності, у якому, відповідно, всі пари станів розрізнені, є мінімальним автоматом. З теореми 5.13 випливає, що якщо заданий який-небудь автомат М, то ми можемо знайти мінімальний автомат Mmin,

Автомат M15а еквівалентний М і є єдиним з точністю до ізоморфізму. Цей висновок є винятково важливим, оскільки він говорить нам, що кожен автомат має деяке «канонічне» представлення, що не залежить від способу завдання вихідного автомата. Дійсно в загальному випадку існує ряд способів, якими автомат може бути описаний (особливо якщо це зроблено усно), і виявляється, що все це різноманіття описів може бути, зрештою, зведено до деякого стандартного представлення. Більш того, зі зробленого висновку випливає, що стандартне представлення є найбільш компактним в сенсі числа використовуваних станів. Якщо внаслідок браку досвіду чи винахідливості в дослідника початкове представлення виходить сильно надлишковим, то є прямий спосіб зменшити надмірність до межі й одержати мінімальне представлення.

Щоб проілюструвати сказане, розглянемо наступну гру: монета підкидається багаторазово; очко зараховується при v-му підкиданні, якщо при (v–2)-му, (v–1)-му і v-му підкиданні випадають відповідно: цифра, герб, герб чи герб, герб, герб; в інших випадках очко не зараховується. Позначивши «герб» літерою «Г», «цифру» – літерою «Ц», «очко» – літерою «I», а «відсутність очка» – літерою «О», ми можемо вибрати такі вхідний та вихідний алфавіти і множину станів:

X = {Г, Ц}, Z = {0, 1), S = {ЦЦ, ЦГ, ГЦ, ГГ},

де зазначені чотири стани ототожнюються з усіма можливими наслідками при (v–2)-му і (v–1)-му підкиданні. Граф переходів автомата M15, що відповідає цьому опису гри, показаний на рис. 5.10. Однак більш компактне представлення виходить, якщо помітити, що рахунок очок при v-му підкиданні не залежить насправді від (v–2)-го результати (хоча це може бути замасковано усним описом гри). Тоді ми можемо вибрати наступні вхідний і вихідний алфавіти і множину станів:

X = {Г, Ц}, Z = {1, 0}, S = {Г, Ц},

де зазначені два стани ототожнюються з усіма можливими наслідками при (v–1)-му підкиданні. У результаті одержимо граф переходів для автомата M16, зображений на рис. 5.11.

112

(Г/0)

Рис. 5.11. Автомат M16.

Можна перевірити, що M16=M15. Таким чином, якщо ми не зуміли знайти надмірності в усному описі, ми все рівно можемо одержати M16 (з точністю до ізоморфізму) застосуванням до M15 будь-якої стандартної методики мінімізації автоматів.

98.Зобр ження регулярних вир зів у вигляді гр фу

Розпочнемо з правил перетворення регулярного виразу до зручного для синтезу вигляду. Таким виглядом безперечно є граф, яким ми можемо зобразити регулярний вираз. Граф будуємо таким чином, щоб його орієнтовані шляхи відповідали словам, які визначає регулярний вираз:

кожному елементу регулярного виразу, який зображує елемент алфавіту у відповідність ставимо ребро між парою вершин, перша з яких є кінцевою вершиною ребра попереднього елемента, а друга – початковою вершиною ребра наступного елемента;

конкатенацію двох елементів зображуємо послідовною парою ребер;

об‘єднання зображуємо паралельною парою ребер;

ітерацію зображуємо петлею.

Але в деяких випадках така проста процедура породження графа приводить до незв‘язаних графів, які не визначають правильні слова або визначають неправильні слова. Тому необхідно знати декілька правил введення порожніх стрілочок (непозначених ребер), використання яких дозволить запобігти зазначеній ситуації. Розглянемо ці правила.

Правило 1. Порожні стрілочки на графі регулярного виразу S вводяться у випадку конкатенації (будемо її позначати знаком множення) двох, або більше ітерацій

S Ri , де i I = {1, 2,…, n}, а Ri - довільний регулярний вираз. Геометрична інтерпретація правила

i 1

1 при I = {1, 2,…, n} наведена на рисунку нижче.

Правило 2. Порожні стрілочки на графі регулярного виразу S, який починається і закінчується ітераційними дужками, вводяться у таких випадках (графи зображуються на рисунках, наведених праворуч від відповідних регулярних виразів):

де Р, R, N – будь-які регулярні вирази.

Правило 3. Порожні стрілки на графі регулярного виразу S вводяться у випадку об‘єднання (будемо його позначати диз‘юнкцією), якщо хоча би один із диз‘юнктивних членів починається з ітерації

113

скінченого числа операцій дизьюнкції ( ), множення ( ) та ітерації ( ). Перед тим як розглядати різні сполучення цих трьох операцій, підкреслимо, що необхідність в використанні порожніх стрілочок з‘являється тільки тоді, коли регулярний вираз вміщує ітерацію. Одна лише операція ітерації як при одноразовому, так і при багаторазому використанні не приводить до появи порожніх стрілочок в графі регулярного виразу. Тому можна стверджувати, що при побудові графу регулярного виразу необхідність у використанні порожніх стрілочок може виникнути тільки у виадку складання наступних операцій ( ,{}*),( ,{}*),( , ,{}*). Але не завжди наявність ітерації у регулярному виразі приводить до появи порожньої стрілочки. Знайдемо, в яких випадках необхідне використання порожніх стрілочок в графах регулярних виразів.

Розглянемо регулярні вирази, отриманні використанням всіх трьох операцій. Позначимо регулярний вираз в базисі ( , ) через P, ( ,{}*)- через Q, ( ,{}*)- через R і в базисі ( ,{}*) - через V.

Не складно побачити, що операція над P не потребує використання порожньої стрілочки. Використання ітерації до R, Q, V приводить до появи порожніх стрілочок. Ці випадки описуються правилом 2.

Розглядаючи попарно диз‘юнкції всіх регулярних виразів, побачимо, що P P не потребує використання порожньої стрілочки. Всі інші випадки описуються правилом 3.

Залишилось розібрати всі можливі попарні добутки із P, R, Q і V. Ясно, що P P,P Q,P R,P V та Q P не потребують використання порожніх стрілочок. Введення порожніх стрілочок в графах Q Q,Q R і Q Vописується правилом. Добуток R P,V P описуються правилом 4, а R Q,R R,R V,V Q,V R і V Vописуються правилами 1 і 4.

Таким чином, нами розглянуто всі можливі види регулярних виразів і показано, що складання операцій ( , ,{}*), які приводять до появи порожніх стрілочок в графах регулярних виразів, повністю описуються правилами 1- 4. Цим наша теорема доведена.

Перед тим, як будувати граф регулярного виразу, необхідно кожен із членів скінченої множини регулярних виразів, представлених в автоматі різними вихідними сигналами уі, перетворити наступним чином. Використовуючи закон комутативності диз‘юнкції, згрупуємо диз‘юнктивні члени с однаковими кінцевими послідовностями вхідних букв і винесемо спільні множники вправо за дужки. На графі регулярного виразу це приводить до об‘єднання вершин і та j таких, що

а) будь-яка послідовність стрілочок, які вихідять із вершини і, має аналогічну послідовність в стрілочках, які виходять із вершини j, і навпаки;

б) кінцеві вершини цих послідовностей повинні бути позначені однаковими вихідними індексами. Ясно, що в результаті такого перетворення регулярного виразу отримаємо еквівалентну форму тієї ж

дії. Далі місця в регулярному виразі, які встановлює попереднє перетворення, розглянуте в пунктах а) та б), назвемо квазіподібними.

В процесі побудови графа регулярного виразу всі початкові вершини графів, які представляють кожен із регулярних виразів, об‘єднуються в одну вершину, якій присвоюється індекс 1. Далі, всім наступним вершинам графа регулярного виразу присвоюємо по одному із множини 2,3,... (причому індекси не повинні повторюватися). Подібна індексація вершин графа дозволяє присвоїти один індекс n подібним і один індекс m квазіподібним місцям в регулярному виразі.

Індекс вершини графа, із якої виходить порожня стрілочка, приписується зліва до індексу вершини, в яку ця порожня стрілка входить. Така індексація вершин, пов‘язаних між собою порожніми стрілками, визначає вірний порядок переміщення графом від початкової вершини до кінцевої. Це забезпечує побудову автомату, заданого регулярним виразом.

99.Алгоритм бстр ктного синтезу втом тів

Спочатку визначимо сутність кожного кроку та порядок їх виконання, а потім розглянемо приклади. Крок 1. Перетворюєо кожний регулярний вираз, виносячи спільні множники праворуч за дужку і

об‘єднуючи їх знаками диз‘юнкції. Отримаємо регулярний вираз R.

Крок 2. Застосувавши правила 1 - 4, будуємо граф регулярного виразу R. Крок 3. Присвоюємо вершинам графу індекси із множини І = {1,2,3,…}.

Крок 4. Будуємо таблицю переходів автомату. Рядки таблиці відповідають різним символам хі вхідного алфавіту, одержаним в R. Перший стовпець таблиці позначимо символом „1‖ початкової вершини

114

графу і з неї почнемо побудову таблиці переходів автомату. В клітинку таблиці, яка стоїть на перехресті ai стовпця та xi рядка, записується диз‘юнкція індексів тих вершин графа, в які входять стрілочки з символами xi, які виходять із будь-якої вершини, індекси якої включені в множину індексів станів ai. З початку побудови таблиці в стан ai входить один індекс початкової вершини. Якщо таких стрілочок немає, в клітинку записується „–„ – символ порожнього стану автомату. Після заповнення клітинок стовпця таблиці дані кожної клітинки, якщо вони повністю не співпадають с даними станів відмічених стовпців, виписуються як новий відмічений стан. Процес побудови таблиці переходів вважається закінченим, якщо всі дані кожної клітинки таблиці виписано як позначений стан. Якщо вершина графу має декілька індексів, то в клітинку таблиці переходів записується тільки крайній праворуч індекс.

Крок 5. Стан ai, в множину індексів котрого входить індекс кінцевої вершини графа, відмітимо вихідним сигналом уi, відповідним даній кінцевій вершині графа. Якщо в множину індексів входять індекси

Приклад 5.5. Потрібно синтезувати автомат, який моделює вироблення умовного рефлексу з забуванням. Вхідний алфавіт автомату позначимо через Х={x1,x2,x3}, де х1 - наявність умовного подразника

115

і відсутність безумовного, х2 - наявність безумовного подразника і відсутність умовного, х3 - одначасна подача умовного та безумовного подразників. Вихідний алфавіт автомата складається із двох літер Y={y1,y2}. Автомат виробляє умовний рефлекс після деякого етапу навчення і реагує вихідною літерою у2 на дію умовного подразника х1 також, як і на дію безумовного х2 або спільну дія обох подразників х3. В інших випадках на виході з‘являється літера у1. Етап навчання полягає в одночасній дії умовного та безумовного подразників. Таких збіжностей за час навчання автомата повинно бути не менше n. Якщо в процесі навчання між двома послідовностями збіжностей подразників відбулось більш ніж k незбіжностей, то процес навчання порушується і його необхідно починати знову. Якщо після вироблення автоматом умовного рефлексу відбудеться більш ніж m послідовних незбіжностей дії умовного та безумовного подразників, то рефлекс забувається.

Вважаємо, що умовний рефлекс с забуттям виробляється при наступних параметрах: k≤1, n≥2, m>2. Переходячи від опису роботи автомата до задання алгоритма на мові регулярних виразів,

отримуємо:

R = {x1 x2 x3}* [(x2 x3) x3((x1 x2)x3 x3)∙{x3}*{(x1 x2)∙x3}*∙((x1 x2) (x1 x2)∙(x1 x2))].

Граф регулярного виразу R наведений на рисунку 5.15.

За графом будуємо позначену таблицю переходів (табл. 5.3). Стани (1 2 8 4) і (1 2 8 5) ототожнюємо, оскільки їм дорівнюють однакові стовпці в табл. 5.3. Виконуємо перекодування положень наступним чином:

(1) q1, (1 8) q2, (1 2 8) q3, (1 3) q4, (1 8 3) q5, (1 2 8 v 4) q6,

(1 3 8 6 7) q7, (1 2 8 5) q8.

Таблиця 6.3.

Заключний варіант позначеної таблиці переходів автомату має вигляд табл. 5.4, а граф переходів автомату показаний на рисунку 5.13.

X 3

X 2

Весь процес синтезу можна розділити на такі основні кроки:

1.Визначення кількості елементарних автоматів, необхідних для побудови заданого автомата.

2.Кодування станів автомата станами елементарних автоматів.

3.Побудова матриці сполучень (переходів) автомата.

4.Кодування вхідних символів.

5.Запис узагальненої функції переходів для першого елементарного автомата. Перекодування узагальненої функції переходів для першого елементарного автомата.

6.Запис узагальненої функції збудження для першого елементарного автомата. Перекодування узагальненої функції збудження для першого елементарного автомата.

7.Повторення пункту 5 та 6 для всіх інших елементарних автоматів Ui.

8.Мінімізація виразів для функції збудження кожного елементарного автомата.

116

9.Кодування вихідних сигналів.

10.Запис функції виходів.

11.Мінімізація функції виходів.

12.Побудова функціональної схеми скінченого автомата.

101.Ді гностичні експерименти для двох ст нів

Задача визначення початкового стану автомата М в випадку, коли А(М) має довільну потужність m, звичайно, набагато складніша ніж частковий випадок, коли m = 2. Розглянемо діагностичну задачу для двох станів, припускаючи, що даний автомат М має n станів, А(М) = {ai0, aj0}. Оскільки М мінімальний, то ai0 і aj0 повинні бути розрізненими і, отже, (n-1)-розрізненими. Отже, існує вхідна послідовність довжини не більше n-1, подання якої на входи M|ai0 M|aj0 викликає різні вихідні послідовності. Така вхідна послідовність називається діагностичною послідовністю для {ai0, aj0}. Діагностичний експеримент для двох станів для автомата М при А(М) = {ai0, aj0} полягає, відповідно, у поданні до М діагностичної послідовності для {ai0, aj0} й у спостереженні реакції, на основі якої може бути визначений істинний початковий стан. На разі ми покажемо, як можуть бути побудовані діагностичні послідовності для заданих пар станів.

Нехай ai0, і aj0, будуть l-розрізненими і (l-1)-еквівалентні, для деякого l, 1 l n – 1. Тоді довжина найкоротшої діагностичної послідовності для {ai0, aj0} є l. Будь-яка діагностична послідовність для {ai0, aj0}, довжина якої дорівнює визначеному вище значенню l, буде називатися мінімальною діагностичною

послідовністю для {ai0, aj0} і позначатися e(ai0,aj0). Якщо ai0 і aj0 l-розрізнені і (l-1)-еквівалентні, то ai0 і aj0, повинні бути роз‘єднаними станами в Pl і об‘єднаними в Pl-1 Тому l може бути визначене шляхом побудови

r-еквівалентних розбиттів для даного автомата М і знаходження найменшої величини r такої, що Pr містить ai0, і aj0 в двох різних класах; ця величина повинна дорівнювати l.

Коли e(ai0,aj0) подається на входи автоматів M|ai0 і M|aj0, їх вихідні послідовності будуть однаковими, за винятком останнього l-го символу. Отже, r-і спадкоємці ai0 і aj0 відносно e(ai0,aj0) є (l-r)- розрізненими і (l-r)-еквівалентними для усіх 0 r l-1. Послідовностями станів, в яких перебувають автомати M|ai0 і M|aj0 є відповідно ai1, ai2,..., ail і aj1, aj2,..., ajl. При цьому вихідні послідовності мають вигляд

bi1,bi2,...,bil для автомата M|ai0 і bj1,bj2,...,bjl для автомата M|aj0, причому bi1,bi2,...,bil bj1,bj2,...,bjl.

Використовуючи введені позначення, можна установити, що якщо ai0 і aj0 l-розрізнені і (l-1)-еквівалентні і якщо eu1,eu2,...,eul є мінімальна діагностична послідовність для {ai0, aj0}, то: (1) для 1 r l-1 є вхідний символ, що переводить в розрізнені (r-1)-еквівалентні стани air-1 і ajr-1; (2) eul є вхідний символ, при поданні якого на входи автоматів M|ail-1 і M|ajl-1 останні видають різні вихідні символи.

Скористаємося встановленими властивостями для визначення eur, air і ajr на основі відомих станів air-1

і ajr-1 (1 r l-1). Визначення eur, air і ajr, коли стани air-1 і ajr-1 відомі, може бути зроблене за допомогою матричного або табличного методу визначення еквівалентних розбиттів автомата. Скористаємося табличним

методом, що дасть нам можливість познайомитися ще з одним методом побудови еквівалентного розбиття автомата. Спочатку про табличний метод.

Табличний метод досить простий в реалізації. Його серцевину становить ітераційний процес перебудови підтаблиці переходів, представленої у специфічному вигляді, коли добавляється додатковий стовпець фіксації належності станів підмножинам розбиття, що визначається. Цей додатковий стовпець містить номер підмножини, до якої належить стан, якому відповідає рядок таблиці.

Спочатку будується перша підтаблиця, підмножини якої визначаються на основі підтаблиці виходу таблиці автомата: до однієї підмножини належать лише стани, що мають однакові підрядки у підтаблиці виходу таблиці автомата. Підмножини нумеруються довільним чином. Потім кожному стану підтаблиці переходів приписуємо індекс, який є номером підмножини, в яку попав цей стан. Таким чином ми отримуємо першу таблицю.

На кожній ітерації стани однієї підмножини поділяються на групи, які є підмножинами наступного розбиття разом з підмножинами, які на цій ітерації не поділялися. До однієї групи належать лише стани, що мають однакові рядки індексів у попередній підтаблиці переходів автомата.

Підмножини формують еквівалентне розбиття, коли жодна з них не може бути поділена на групи. Приклад застосування методу розглянемо разом з прикладом проведення діагностичного експерименту.

Тепер повертаємося до діагностичного експерименту. Дійсно, якщо air-1 і ajr-1 є (l-r+1)-розрізненими і (l-r)-еквівалентними станами, то вони повинні належати до однієї підмножини в таблиці Pl-r і до різних підмножини в таблиці Pl-r+1. Тому рядки air-1 і ajr-1 у таблиці Pl-r повинні містити дві клітинки, скажімо a'ir-1 і a'jr-1, які мають різні індекси підмножин, щонайменше в одному, скажімо e'ur-1 стовпці. При цьому a'ir-1 і a'jr-1 повинні бути (l-r-1)-еквівалентними, оскільки вони є першими спадкоємцями (l-r)-еквівалентних станів air-1 і ajr-1, щодо вхідного символу e'ur-1; вони повинні бути також (l-r)-розрізненими, оскільки a'ir-1 і a'jr-1 мають різні індекси підмножин у таблиці Pl-r. Отже, a'ir-1 і a'jr-1 є шуканими станами air і ajr - відповідно, і вхідний символ e'ur-1 є шуканий вхідний символ eur. Таким чином, eur, air і ajr можуть бути визначені шляхом перегляду

таблиці Pl-r.

Нам залишається скористатися встановленими властивостями для визначення eul , air і ajr на основі відомих станів ail-1 і ajl-1. Стани ail-1 і ajl-1 є l-розрізненими; тому повинний існувати, принаймні, один вхідний символ, при поданні якого на входи автоматів M| il-1 і M| jl-1 останні видають різні вихідні символи. Цей

117

символ, що є шуканим символом eul, може бути легко визначений шляхом перевірки в підтаблиці виходу стовпця, в якому рядки ail-1 і ajl-1 різні.

(б) Якщо l-r = 0, то eur відповідає будь-якому стовпцю в підтаблиці виходу М, такому, що рядки air-1 й ajr-1 у цьому стовпці різні. Тоді eu1,eu2,..., eur є мінімальною діагностичною послідовністю для {ai0, aj0}.

Крок 3. Символ eur відповідає будь-якому стовпцю в таблиці Pl-r, такому, що рядки air-1 і ajr-1 цього стовпця мають клітинки air і ajr відповідно з різними індексами підмножин. Збільшуємо r на одиницю і повертаємося до кроку 2.

Для ілюстрації розглянемо автомат М17, представлений таблицею переходів і зображений на рис. 5.23. Цей автомат має п‘ять станів і відносно кожної їх пари може бути поставлена задача проведення діагностичного експерименту. Тому доцільно побудувати множину таблиць Pr, достатню для проведення діагностичного експерименту для будь-якої пари станів.

(β/1)

(β/1)

Рис.5.23. Автомат М17

Реалізація кроку 1 алгоритму 1 спочатку приводить до побудови таблиці P1, а потім таблиці P2 автомата М17, наведених нижче, оскільки в таблиці P1 є рядки 1 і 3 або 2 і 3, які відрізняються індексами груп.

Оскільки рядки 4 і 5 таблиці P2 відрізняються індексами груп, то продовжуємо побудову таблиці P3, а потім P4, оскільки в таблиці P3 є рядки 1 і 2, які відрізняються індексами груп. Таблиця P4 визначає еквівалентне розбиття.

Дійсно, оскільки кожна із підмножин розбиття містить один стан, можемо переходити до визначення діагностичних послідовностей для будь-якої пари станів. Наприклад, знайдемо мінімальну діагностичну послідовність для пари {1,2}, тобто e(1,2). Почнемо з розгляду таблиці P3, оскільки це „остання” таблиця в який рядки 1 і 2 є суміжними. Рядки 1 і 2 у таблиці P3 мають різні нижні індекси в клітинках <4c> і <5д>, що знаходяться в стовпці . Отже, є першим символом у послідовності e(1.2). В таблиці P2 рядки 4 і 5 мають різні нижні індекси в клітинках <3b> і <2а>, що знаходяться в стовпці . Отже, є другим символом у послідовності e(1.2). У таблиці P1 рядки 3 і 2 мають різні нижні індекси в клітинках <5b> і <1a>, що знаходяться в стовпці . Отже, є третім символом у послідовності e(1,2). Тут символ також може бути

118

обраний як третій символ послідовності, оскільки рядки 3 і 2 мають різні нижні індекси в клітинках <1a> і <5b>, що знаходяться в стовпці . У підтаблиці ai+1 рядки 1 і 5 мають різні клітинки (0 і 1) у стовпці . Отже,

єчетвертим і останнім символом у послідовності e(1,2).

Утаблиці 5.26 наведені діагностичні послідовності для кожної пари станів автомата М17. Таблиця 5.26 Мінімальні діагностичні послідовності для пар станів М17

Таким чином, e(1,2) має вигляд чи . Коли прикладається до М17 у стані 1 і в стані 2, останній вихідний символ є 1 і 0 відповідно, що легко може бути перевірене по таблиці переходів чи по рис. 5.23. Отже, якщо (1,2) є множиною припустимих початкових станів М17, то діагностичний експеримент може бути проведений шляхом подання послідовності на вхід автомата і спостереження останнього вихідного символу: якщо цей символ - 1, то й початковий стан - 1, якщо цей символ - 0, то початковий стан - 2. У таблиці 5.26 перелічені мінімальні діагностичні послідовності для всіх пар станів {ai0, aj0} автомата М17; останні два стовпці в цій таблиці вказують останні вихідні символи, що спостерігаються, el(i) і el(j), коли мінімальна діагностична послідовність прикладається до станів ai0 і aj0 відповідно. Хоча для даної пари станів можуть бути побудовані дві чи більше мінімальні діагностичні послідовності, у таблиці наведена тільки одна така послідовність.

102.З г льн з д ч розпізн в ння втом ту

Будемо говорити, що автомат є розпізнаним, якщо визначена (з точністю до ізоморфізму) його мінімальна форма шляхом вимірів на його зовнішніх виходах. Будемо говорити, що автомат розпізнаваний, якщо він може бути розпізнаний незалежно від його початкового стану. Задача розпізнавання автомата в її найбільш загальній формі полягає в тому, щоб розпізнати заданий автомат М. Відомо, що якщо про автомат М немає достатньої інформації, то загальна задача розпізнавання автомата нерозв‘язна.

Теорема 5.14. Автомат М не може бути розпізнаний, якщо заздалегідь не відомий цілком його вхідний алфавіт.

Доведення. Припустимо, що досліднику відома тільки підмножина, скажімо E', вхідного алфавіту E автомата М1. Припустимо також, що деякий експеримент, що використовує вхідну послідовність , символи якої вибираються з підмножини E', виявляє, що М1 має мінімальну форму М2, наведену на рис. 5.24.

Розглянемо тепер автомат М2 , що відрізняється від М1 тільки тим, що в М1 до петлі чи вихідної дуги всіх станів додана пара вхід-вихід ( r/ l), де r належить E, але не належить E'. Оскільки реакції М1 і М2 на послідовність однакові, то в результаті зазначеного експерименту може бути зроблений висновок про те, що автомат М — це автомат М2, з такою же впевненістю, як і висновок, що автомат М — це М1. Однак, оскільки автомати М1 і М2 не порівнянні, то вони, звичайно, не еквівалентні, і, отже, припущення про те, що експеримент виявляє мінімальну форму, не може бути доведено. Тоді від супротивного випливає, що якщо вхідний алфавіт автомата М не цілком відомий, то автомат М не може бути розпізнаний. Теорема доведена.

Теорема 5.15. Автомат М не може бути розпізнаний, якщо попередньо не відомо максимальне число станів мінімальної форми цього автомата.

Доведення. Нехай деяким експериментом довільної, але скінченної довжини L установлено, що М1 є мінімальною формою автомата М, показаною на рис.5.24. Нехай автомат M1 має множину станів {a1, a2,..., an}. Розглянемо автомат М2 (також показаний на рис. 5.24) побудований у відповідності з наступними

правилами: а) автомат М2 має n(L+1) станів a'1, a'2,..., a'n(L+1); б) якщо пара вхід-вихід ( r/ l) позначає дугу, що веде від стану ai до стану aj в автоматі М1, то в автоматі M2 пара ( r/ l) також позначає дугу, що веде зі стану

a'i+(u-1)n в стан a'i+un для u =1,2,…,L; в) якщо на вхід автомата М2 у стані a'i+Ln подано вхідний символ r, то

119

вихідний символ буде l l і наступний стан М2, буде a'i+Ln. Тоді за побудовою кожна вхідна

послідовність довжини L, чи меншої виробляє однакові вихідні послідовності в M1|ai і в M1|aj. Однак якщо прикладається будь-яка вхідна послідовність довжини L+1 до M1|ai і до M1|aj то дві вихідні послідовності цих автоматів повинні розрізнятися останніми символами. Таким чином, результат будь-якого скінченого експерименту над автоматом М може бути однаково притаманним як М1, так і М2, хоч М1 і М2 не еквівалентні. Отже, автомат М не може бути розпізнаний ніяким скінченим експериментом. Теорема доведена.

Зауважимо, що якщо відомо максимальне число станів n автомата М, то автомат М2 виключається експериментом довжини L такої, що (L+1)n > n. Таким чином, якщо n відомо, то за допомогою досить довгого експерименту автомат М може бути розпізнаний.

M2

Рис. 5.24

Отже, можна вважати встановленим, що необхідною умовою розпізнавання автомата є попереднє знання його вхідного алфавіту і граничного значення числа станів його мінімальної форми. Попереднє знання вихідного алфавіту для розпізнавання автомата не є обов’язковим.

103.Автом ти з м г зинною п м'яттю

Під автоматом з магазинною пам‘яттю (МП-автоматом) будемо розуміти однобічний автомат, допоміжна пам'ять якого називається магазинною чи просто магазином. Магазин є потенційно нескінченим. Він також поділений на клітинки, у кожну з яких вписуються символи якогось скінченого алфавіту. З послідовності символів цього алфавіту, яка міститься в магазині, в кожен момент часу доступний тільки один, що називається верхнім. Більш того, у процесі роботи автомат може змінювати вміст магазинної пам‘яті, що визначається функцією перетворення пам‘яті.

МП-автомат функціонує, виконуючи послідовність тактів. Назвемо конфігурацією МП-автомата сукупність:

1)стану автомата;

2)вмісту вхідної стрічки, починаючи з поточної клітинки;

3)вмісту магазина.

Тоді в кожнім такті автомат, перебуваючи в певному стані:

–читає поточну клітку вхідної стрічки;

–читає клітинки магазину, визначені функцією доступу;

–на підставі визначеної такий чином конфігурації автомата виконуються наступні дії: а) вхідна голівка залишається на місці або зрушується вправо; б) змінюється вміст магазину (на підставі функції перетворення пам‘яті); в) автомат переходить у новий стан.

Після цього такт завершується.

Автомат називається детермінованим (ДМП-автоматом), якщо дії а) - в) однозначно визначені попередньою конфігурацією. Інакше автомат називається недетермінованим (НМП-автоматом).

Конфігурація називається початковою, якщо автомат розпочинає роботу з заданого початкового стану, заданої поточної клітинки, заданого вмісту магазину. Конфігурація називається заключною, якщо автомат знаходиться у одному із заданої множини заключних станів, магазин має встановлений заключний вміст і поточною є визначена клітинка. Іноді умови заключної конфігурації задаються простіше і, як ми побачимо пізніше, це суттєво впливає на функціонування автомата.

120