5 Зміст звіту
5.1) мета роботи;
5.2) варіант завдання;
5.3) короткі теоретичні відомості;
5.4) результати аналітичного розрахунку значень градієнту в заданих точках для тестових функцій F1, F2 та в обраній точці для індивідуальної функції F3 ;
5.5) лістинг програми обчислення перших похідних за методом центральної різниці; 5.6) результати розрахунку значень градієнту на ПЕОМ (табл. 1.3);
5.7) результати розрахунку абсолютної похибки (табл. 1.4);
5.8) висновки щодо оптимального кроку обчислення градієнту.
6 Контрольні запитання
6.1) Що таке градієнт цільової функції та які його властивості? 6.2) Як використовується градієнт цільової функції при оптимізації? 6.3) Які Ви знаєте методи чисельного визначення градієнту?
6.4) Які види похибок впливають на чисельне обчислення градієнту та як саме?
6.5) Навести приклади функцій, для яких обрахунок за методом лівих або правих різниць буде безпомилковим.
6.6) Навести приклади функцій, для яких обрахунок за методом центральних різниць буде безпомилковим.
16
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА № 2.
ЧИСЕЛЬНЕ ВИЗНАЧЕННЯ ЕЛЕМЕНТІВ МАТРИЦІ ГЕССЕ ЦІЛЬОВОЇ ФУНКЦІЇ
1 Мета роботи
Ознайомитись з методами обчислення на ЕОМ других частинних похідних функцій (зокрема елементів матриці Гессе цільової функції) та факторами, що впливають на похибку обчислень.
2 Короткі теоретичні відомості
При обчисленні елементів матриці Гессе на ЕОМ використовують методи кінцевих різниць, зокрема, метод кінцевих «центральних» різниць (1.11). Якщо цей метод застосувати до градієнту цільової функції (1.1), то
отримаємо формулу для визначення елемента Hij |
матриці Гессе: |
|||||||
|
r |
r |
r |
r |
r |
r |
r |
|
Hij = |
f(x+hiei |
+hjej)−f(x−hiei |
+hjej)−f(x+hiei |
−hjej)+f(x−hiei |
−hjej) |
|||
|
|
4hihj |
|
|
|
|
|
|
3 Завдання
3.1) Для трьох цільових функцій (ЦФ): двох тестових F1, F2 і однієї індивідуальної F3 з ЛР №1 провести аналітичний розрахунок матриці Гессе в точці x (для функції F3 , точку обрати самостійно).
3.2) Побудувати 3D–зображення кожної ЦФ (наприклад, за допомогою Matlab) в межах, що містять задані (для F1, F2) або обрану (для F3) точки.
17
[x1,x2]=meshgrid(-5:0.5:5,-5:0.5:5); F=(x1-x2).^2+1/9*(x1+x2-10).^2; surf(x1,x2,F);
axis tight; xlabel({'x1'}); ylabel({'x2'}); zlabel({'F1'});
title('F=(x1-x2)^2+1/9*(x1+x2- 10)^2'); %для друку у чорно-білому форматі
%colormap(gray(10)); %для вигляду зверху
%view(-45,90);
Лістинг 2.1 – Побудова 3D-зображення ЦФ
Рисунок 2.1 – 3D–зображення ЦФ |
Рисунок 2.2 – 3D-зображення ЦФ |
(вигляд під кутом) |
(вигляд зверху) |
3.3) Скласти програму розрахунку на ЕОМ елементів матриці Гессе ЦФ за методом центральної різниці для F1, F 2, F3 при h=10-2÷10-9 з кроком 10-1.
Результати звести у таблицю:
18
Таблиця 2.1 – Значення елементів матриці Гессе
|
Крок |
|
|
|
F1 = ... |
|
|
F 2 = ... |
|
F3 =... |
|||
|
hi = hj |
|
|
X1 = (...,...)T |
|
X 2 |
= (...,...)T |
X 3 |
= (...,...)T |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10-2 |
|
|
H11 |
|
H12 |
|
… |
|
… |
H11 |
|
H12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H21 |
|
H22 |
|
… |
|
… |
H21 |
|
H22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10-3 |
|
|
H11 |
|
H12 |
|
… |
|
… |
H11 |
|
H12 |
|
|
|
|
H21 |
|
H22 |
|
… |
|
… |
H21 |
|
H22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
… |
|
|
… |
|
… |
|
… |
|
… |
… |
|
… |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10-9 |
|
|
H11 |
|
H12 |
|
… |
|
… |
H11 |
|
H12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H21 |
|
H22 |
|
… |
|
… |
H21 |
|
H22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.4) Використавши дані п.4.1 та 4.2 розрахувати абсолютну похибку обчислень чисельних значень елементів матриці Гессе для F1, F 2, F3 при h=10-2÷10-9 та звести у таблицю:
Таблиця 2.2 – Значення абсолютної похибки
|
Крок |
|
|
F1 =... |
|
|
F 2 =... |
|
|
F3 =... |
|
|
hi = hj |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E11 |
E12 =E21 |
E22 |
E11 |
E12 =E21 |
E22 |
E11 |
E12 =E21 |
E22 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10-2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10-3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10-9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Розрахунок абсолютної похибки вести за формулою:
Eij = EijK − EijA ,
19