351

Розрахуємо ' A

=

' H1 pk

H'2 pk

k '

A1=

' H1 p1

0.313e 153.435j

1.565e116.565j ;

ψ arg A1

π

3.605

рад

' H'2 p1

0.2e90j

2

A =

' H1 p2

0.313e153.435j

1.565e 116.565j

0.2e 90j

2 ' H'2 p2

Перехідний струм i2(t):

e(ωt ψ) e (ωt ψ)

p

(k )

t

δt

δt

i2(t) Ak e

=

A1

2e

=

A1

2e

sin(ωt ψ)=

2

k

3.13 sin(100t 3.605) e 300t

Зображення напруги на конденсаторі з врахуванням внутрішньої ЕРС:

1

UC(0)

C LR UC(0)p

2

L C R

2

UC(0)

E1 R

E1 L p 2UC(0)

UC(p)

I2(p)

=

=

p C

p

2

C R

2

H1(p)

23p 0.05p2 1.5 103

p C R L p

L

2R p

H2(p)

1 10

3

2

0.6p

p

p

100

H (p)

1 10 3p3 0.6p2 100p=0

2

Корні характеристичного рівняння:

p1 300 100j

316.228e161.565jc-1; p2 300

100j

316.228e 161.565jc-1; p3

0.

Розрахуємо H1 pk

0.05pk 2 23pk 1.5 103;

H

0.05 316.228e161.565j 2

23 316.228e161.565j

1.5 103=

1(p1)

7.273 103e161.565j

5

103e323.13j 1.5 103

1.565

103e 153.435j

H

0.05 316.228e 161.565j 2

23 316.228e 161.565j

1.5 103=

1(p2)

5 103e 323.13j 7.273

103e 161.565j 1.5 103

1.565 103e153.435j;

H

0.05 02

23

0

1.5

103

1.5 103 .

1(p3)

Похідна від H' p

d

H p

3 10 3p2 1.2p 100;

2

dp

2

H'

3 1 10 3 316.228e161.565j 2

2 0.6 316.228e161.565j 100 =

2(p1)

379.473e161.565j 300e323.13j

100

63.246e 108.435j;

H'

3 1 10 3 316.228e 161.565j 2 2 0.6 316.228e 161.565j

100 =

2(p2)

300e 323.13j

379.473e 161.565j 100

63.246e108.435j;

H'

3 1 10 3 02

2 0.6 0 100

100

2(p3)

Розрахуємо ' A =

' H1 pk

H'2 pk

k

'

A1=

' H1 p1

1.565 103e 153.435j

24.749e 45j

;

ψ arg A1

π

рад

0.785

' H'2 p1

63.246e 108.435j

2

A

=

' H1 p2

1.565 103e153.435j

24.749e45j

' H'2 p2

63.246e108.435j

2

A

=

H13

1.5

103

15

H'23

3

100

Напруга на конденсаторі:

p

t

e(ωt ψ) e (ωt ψ)

(k )

2e

δt

A1

2e

δt

sin(ωt ψ)=

uC(t) Ak e

=A3

A1

2

= A3

k

49.5 sin(100t 0.785) e 300t

15.

Зображення напруги на котушці індуктивності:

H1 p

U p I

p p L=

L E1

7

=

;

2

10 3

L

3

C R

2

0.6

1

2

100

H2 p

p C R L

p

L

2R

p

p

оригінал шуканих величин по теоремі розкладання:

Прирівняємо знаменник H2(p) до нуля та визначимо його корені:

H (p) 1

10 3p2

0.6p 100=0

2

Корні характеристичного рівняння:

p1 300 100j

316.228e161.565jc-1; p2 300 100j

316.228e 161.565jc-1;

Розрахуємо H1 pk

7; H1(p1)

7

;H1(p2) 7

;

Похідна від H' p

d

H p

2

10 3p 0.6;

2

dp

2

H'

2 1 10 3 316.228e161.565j 0.6

0.632e161.565j 0.6

0.2e90j;

2(p1)

H'

2 1 10 3 316.228e 161.565j 0.6

0.632e 161.565j

0.6

0.2e 90j;

2(p2)

Розрахуємо

A1=

' H1 p1

7

35e 90j ;

ψ

arg A1

π

0

рад

' H'2 p1

0.2e90j

2

A

=

' H1 p2

7

35e90j

' H'2 p2

0.2e 90j

2

Напруга на котушці індуктивності:

u

L

(t)=

A

2eδt e(ωt ψ) e (ωt ψ) =

A

2eδt sin(ωt ψ)

70 sin(100t) e 300t

1

2

1

R1kp(R p L)

1

5 103

R1kp(0.1p 50)

=0

p

R R p L

p C

R 0.1p 50

1kp

1kp

p R1kp

R1kp C R L ±

C2 R2 4C L R1kp2 2C L R R1kp L2

2L C R1kp

C2 R2

4C L R

2 2C LR R

L2 2

10

3 R

2 10

5R

2 0.01=0

1kp

1kp

1kp

1kp

R

C LR 2

C L3

2 10 4 0.1 50

2

2 10 4 0.13

5.279

Ом.

1kp

C2 R2 4C L

2

10 4 2502 4 2 10 4 0.1

e1 t

E1

70

e2 t

E2

2 sin ωt ψ°

E

E ej ψ

43.301

25j

50e 150j

2

2

Опори реактивних елементів:

xL ωL

100 0.1

10(Ом)

xc

1

1

50(Ом)

ωC

100 2

10 4

E2

( 43.301 25j)

j xc

Uab(-0)

j 50

3.344 29.328j

1

1

1

1

1

1

2R j xc

j xc

R j xL

2 50 j 50

j 50

50 j 10

29.518e 96.506j B;

Розрахуємо струм в котушці індуктивності під дією ЭДС E2

I3(-0)E2

Uab(-0)

3.344

29.328j

0.177

0.551j

0.579e 107.816jA;

R j xL

50 j 10

і напругу на конденсаторі в схемі до комутації під дією ЭДС E2

40.191e173.818j B;

U

E

U

43.301 25j

( 3.344

29.328j) 39.957

4.328j

C(-0)E2

2

ab(-0)

Миттєвий струм в котушці індуктивності до комутації під дією ЭДС E2:

i3(E2)(t)

I3(-0)E2

2 sin ωt I3(-0)E2 °

0.579 2 sin(100t 107.816°)A;

і напруга на конденсаторі під дією ЭДС E2:

uC(E2)(t)

UC(-0)E2

2 sin ωt UC(-0)E2 ° 40.191

2 sin(100t 173.818°)

B;

Незалежні початкові умови отримуємо, підставляючи в останні вирази t = 0:

i3(0)E2

0.579

2 sin( 107.816°)

0.779 A; UC(0)E2

40.191

2 sin(173.818°)

6.121 B;

значення струму в індуктивності і напругу на конденсаторі до комутації

під дією ЕРС E1:

i3(-0)E1

0

UC(-0)E1 E1

70 В

Незалежні початкові умови

i3(0)E1

i3(-0)E1 0 А

UC(0)E1

UC(-0)E1 70 В

Результуючий струм у кожній вітці дорівнює алгебраїчній сумі часткових

струмів,

створених у цій вітці кожним джерелом окремо.

UC(0) UC(0)E1 UC(0)E2

70 6.121

76.121 В

i3(0) i3(0)E1 i3(0)E2

0

0.779 0.779 А

Значення ЕРС у момент t=0:

e1(0) E1 70 B;

e2 0

50

2 sin 210°

35.355 B;

100

U(0)

R

0

0.5

1

1.5

U

U(t)

R

c

100

U(T)

200

t/T

рис.4.1

рис.4.2

g1(0)

1

1

0.02 См

yC(0) 0

R

50

g1ус

1

1

0.01 См

yCус g1усR 0.01 50 0.5

R R

50 50

R

R

0

R p C 1

p

2

2

200

1

R C

50 2

10 4

с

Визначимо сталу часу:

τ

1

1

5 10 3 с

p

200

g1 t g1ус A ep t

yC t yCус B ep t

g1(t)

g1ус A ep t

0.01e 200t 0.01 См

yC t

yCус B ep t 0.5e 200t 0.5

Закон зміни вхідної напруги

u(t)=

u t

U

U(T) U(0)

t 70

210t В, 0

t T

1

(0)

T

u2 0 ,

T t ∞

Значення підінтегральних функцій:

u'1

U(T) U(0)

140 70

2.8 104

В/c, 0 t T

u'(t)=