Lektsia_5
.pdfМомент інерції тіла відносно початку координат
( )
Статичні моменти |
, |
, |
тіла відносно координатних площин |
, |
,обчислюються за формулами
Координати , , центра мас тіла визначаються за формулами:
Приклад 1. Обчислити потрійний інтеграл
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
де область – тетраедр, який обмежений площинами |
і |
|||
y
A(0,1)
1
y=1−x
y=0 |
1 B(1,0) |
x |
|
|
z
1
1
1 
y
x
Проекцією тіла на площину |
є трикутник: { |
( ) ∫ ∫ ∫ ( )
Вирахуємо внутрішній інтеграл
∫ |
|
|
|
|
|
| |
( |
) |
( |
) |
|||
( |
) |
( |
) |
= |
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
] |
( |
) |
|
|
( |
) |
|
∫ [ |
|
|
|
|
] |
|
( |
|
|
|
) | |
( |
) |
|
|
|
|
( )
Отже
∫ ( |
|
|
|
) |
|
( ( ) |
|
|
( ) |
) | |
|
|
|
|
|
( |
|
|
|
) |
|
( |
|
) |
|
|
|
|
Приклад 2. Обчислити потрійний інтеграл
√
якщо область : {
y
(x−2)2+y2=4
|
0 |
2 |
x |
|
Проекцією області |
на площину |
є півколо |
||
{ |
|
{( |
) |
|
Введемо циліндричну систему координат:
.
√ √
√ |
|
∫ ∫ ∫ |
∫ ∫ |
( |
|
) | |
∫ |
|
| |
|
|
∫ |
|
∫( |
) ( ) |
|
( ) |
Приклад 3. Обчислити об’єм тіла обмеженого поверхнями
√ |
|
√ |
|
y
27 x2+y2=27
27 x
Визначимо в яку область проектується на площину |
тіло , обмежене |
|||||||
|
√ |
|
|
√ |
|
|
|
|
півсферою |
|
і конусом |
|
: |
|
|||
|
|
|
||||||
|
|
|
||||||
{
{
Введемо циліндричну систему координат
√
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
√ |
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
∫ ∫ |
|
|
∫ |
|
|
|
∫ ∫ (√ |
|
|
|
) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
( |
) |
|
|
|
|
|
∫ ∫ √ |
|
|
∫ |
|
| |
|||||
√ |
|
|
||||||||
|
||||||||||