РОЗРАХУНКОВА

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: площиною, що проходить через осі Ox і Oz; площи- ною, що проходить через прямі

площиною Oyz; площиною, що прохо- дить через точки (0;0;2) і (0;3;0) пара-

лельно осі Ox.

Зобразити піраміду графічно.

12. Задано точку M0(−1;3;1) та прямі

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса Ε, якщо ексцентриситет

б) гіперболи Γ, якщо A(80;3),

B(46;32) Γ;

11

в) параболи, якщо її директриса

D : y = 1.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14.Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

x2 −2xy +y2 −10x −6y + 25 = 0.

15.Визначити тип та побудувати пове- рхню:

x2 +y2 + z2 = 2z.

16.Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

z2 = x2 +y2,x2 +y2 −ax = 0.

17. Скласти рівняння поверхні тіла, утвореного обертанням кривої

рисунок.

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

Ax = (6x2 −x3;5x1 + x2 −x3;4x3) Bx = (x1 + x2 + 2;3x1 −x3;x2 + 3x3).

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

x12 + 2x22 + 3x32 −2x1x2 −2x2x3.

Варіант 5

1. Обчислити визначник:

а) зведенням до три- кутного вигляду; б) методом розкладу

за елементами деяко- го рядка або стовпця.

2. Довести, що матриця A задовольняє рівняння f(x) = 0 :

3x +y + z = 14.

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.

6. Дано координати точок M1(−1;−5;2),

M2(−6;0;−3),M3(3;6;−3),M4(−10;6;7).

12

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

що вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (2;2;−1) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Ox.

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

9. Дано точки A(3;1),B(4;5),C(2;0). У

ABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: координатними площинами; площиною, що проходить

щиною, що перпендикулярна до пло-

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо велика піввісь a = 11, ексцентриситет ε = 1157 ;

13

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (2;0;−1) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює тупий кут з віссю Ox.

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

9. Дано точки A(1;3),B(−2;1),C(0;−3).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: площиною Oyz; площиною Oxy; площиною, що прохо- дить через точку (4;−1;0) і відтинає на осях Ox і Oz відрізки 2 і 3; площиною, що проходить через точку (0;3;0) і

пряму x2 = y −1 2 = z−−41.

Зобразити піраміду графічно.

12. Задано точку M0(−1;0;1) та прямі

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо мала піввісь b = 15 і

ексцентриситет ε = 2510 ; б) гіперболи, якщо рівняння її асимптот

3

y = ±4x і дійсна піввісьa = 8;

15

в) параболи Π, якщо її вісь симетрії

Oy, A(4;−8) Π.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14.Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

x2 − 4xy + 4y2 − 4x − 3y −7 = 0.

15.Визначити тип та побудувати пове- рхню:

z2 −x2 −2y = 0.

16. Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

2z = x2 −y2,z = 0,z = 2.

17. Скласти рівняння поверхні тіла, утвореного обертанням кривої

Зробити рисунок.

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

ну їй діагональну матрицю.

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

2x12 + 3x22 + 9x32 −2x1x2 −2x1x3.

−5 −4 −1

4. Розв’язати систему рівнянь:

а) за формулами Крамера; б) методом Гаусса.

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.

6. Дано координати точок M1(5;2;0),

M2(2;5;0),M3(1;2;4),M4(−1;1;1). Дове-

16

сти, що вони не лежать в одній площи- ні. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (−2;4;7) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює тупий кут з віссю Ox.

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

9. Дано точки A(−3;−2),B(2;0),C(−1;1).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: площиною Oyz; площиною, що проходить через точку (0;2;0) паралельно площині Oxz; пло-

щиною, що проходить через точку (1;0;3) і містить вісь Oy; площиною, що проходить через точку (0;0;3) і

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо велика піввісь a = 4 і один з фокусів F(3;0);

б) гіперболи, якщо уявна піввісь b = 210 і один з фокусівF(−11;0);

17

в) параболи, якщо її директриса

D : x = −2.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

3x2 +10xy + 3y2 −2x −14y −13 = 0.

15. Визначити тип та побудувати пове- рхню:

x2 −z2 − y2 = 1. 25 9

16. Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

z2 = 4(x2 +y2),x2 +y2 + z2 = 1.

17. Скласти рівняння поверхні тіла, утвореного обертанням кривої

рисунок.

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

Ax = (0;x1 + 4x3;4x1 −x2 −x3)

Bx = (x1 + 3;x2 + 3x3;x1 − 4x3).

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

−x12 −6x22 −10x32 + 4x1x2 + 6x2x3.

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

q = (2;−1;1),r = (0;−1;2). Довести, що

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (6;12;−1) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює тупий кут з віссю Ox.

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

9. Дано точки A(−4;2),B(3;3),C(6;8). У

ABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: площинами Oxz та Oyz; площиною, що паралельна осі Oy і проходить через точки (3;0;0) і (0;0;1); площиною, що проходить через

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо мала піввісь b = 4 і один з фокусів F(3;0);

б) гіперболи, якщо дійсна піввісь a = 4,

7

ексцентриситет ε = 5 ;

19

в) параболи, якщо її директриса

D : x = 6.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

9x2 − 4xy + 6y2 −10x −6y + 25 = 0.

15. Визначити тип та побудувати пове- рхню:

4x2 − 3y2 + 6z2 −18 = 0.

16. Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

y= x2,z = y,z +y = 2.

17.Скласти рівняння поверхні тіла,

x = y,

утвореного обертанням кривої

z = 0

навколо осі Ox.Зробити рисунок.

18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

Ax = (3x2 −x3;x1 + x3;x2 − 4x3) Bx = (x1;x22 + x3;−x1 + x2).

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

4x12 − 3x22 + 2x32 + 2x1x2 + 4x1x3 −2x2x3.

2. Довести, що матриця A задовольняє рівняння f(x) = 0 :

4. Розв’язати систему рівнянь:

а) за формулами Крамера; б) методом Гаусса.

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.

6. Дано координати точок M1(−2;0;−4),

M2(−1;7;1),M3(4;−8;−4),M4(1;−4;6).

20

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) об’єм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.