Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

РОЗРАХУНКОВА

.pdf
Скачиваний:
130
Добавлен:
17.03.2016
Размер:
1.18 Mб
Скачать

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ «КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ ДО ТИПОВОЇ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ

ДЛЯ СТУДЕНТІВ І КУРСУ ТЕХНІЧНИХ ФАКУЛЬТЕТІВ

Затверджено Методичною радою НТУУ «КПІ»

Київ «ПОЛІТЕХНІКА»

2001

Аналітична геометрія. Лінійна алгебра: Збірник завдань до типової розрахункової роботи для студентів І курсу факультетів електроного профілю / Уклад.: Н.Р. Коновалова, Г.Г. Барановська, І.О. Федотова та ін. — К.: ІВЦ

«Політехніка», 2001. — 65 с.

Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ» (Протокол № від )

Навчальне видання

АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ ЛІНІЙНА АЛГЕБРА

Збірник завдань до типової розрахункової роботи для студентів І курсу технічних факультетів

Укладачі: Коновалова Наталія Романівна Барановська Галина Григорівна Федотова Ірина Олексіївна Алексєєва Ірина Віталіївна Демяненко Ольга Олегівна Кіндибалюк Адріана Юріївна Нефьодова Галина Дмитрівна Трофимчук Олена Петрівна Гайдей Віктор Олександрович

Відповідальний редактор: В.В. Булдигін д-р фіз.-мат. наук, проф.

Рецензент: В.Г. Лозовик канд. фіз.-мат. наук, доц.

Темплан 2001, поз.

Підп. до друку 00.00.01. Формат 60×84 1/16. Папір . Друк офс. Ум. друк. арк. Обл.-вид. арк. Зам. . Наклад 200 пр.

Інформаційно-видавничий центр «Політехніка» Друкарня НТУУ «КПІ»

03056, Київ-56, просп. Перемоги, 37

Вступ

При вивченні курсу «Аналітична геометрія та лінійна алгебра» студенти знайомляться з основними положеннями теорії визначників, систем лінійних алгебраїчних рівнянь, векторної алгебри та ін. Навчальним планом даної дисципліни передбачено також набування студентами навичок виконання ряду типових завдань.

Даний збірник підготовлено з метою організації регулярної роботи студентів по вивченню курсу. Кожен студент розвязує задачі одного з 30 запропонованих варіантів завдань. Крім того, збірник містить додаткові задачі, які обираються і розвязуються за бажанням студента.

3

1 2 3 0
1 2 −1 2
−1 2 1 −1 2 0 0 1

Варіант 1

1. Обчислити визначник:

а) зведенням до три- кутного вигляду; б) методом розкладу

за елементами деяко- го рядка або стовпця.

2. Довести, що матриця A задовольняє рівняння f(x) = 0 :

A =

1

−1

;f(x) = x2 − 4x + 5.

2

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Для матриці A знайти обернену мат-

рицю A−1. Результат перевірити.

 

 

 

1

−1

 

 

 

2

3

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) A =

 

; б) A =

1 −1 0

.

 

 

 

 

 

−1

2

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Розвязати систему рівнянь:

 

 

 

а) за формулами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2y z

= 13,

 

 

 

x

Крамера;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ z = 16,

 

 

 

2x + 3y

б) методом Гаусса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+y + 4z

= −1.

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фу- ндаментальну систему розвязків відпо- відної однорідної системи. Знайти зага- льний розвязок неоднорідної системи за

формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í загальний розвязок неоднорі- дної системи; xç.î загальний розвязок однорідної системи; x÷.í частинний розвязок неоднорідної системи.

x

1

+ x

2

+ x

3

+ x

4

= 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x2 + 4x3 + 3x4 = 2,

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ 2x

 

 

+ 5x

 

 

+ 4x

 

 

= 3,

2x

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x

 

+ 4x

 

+ 7x

 

 

+ 6x

 

= 5.

 

1

2

3

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Дано координати точок M1(1;3;6),

M2(2;2;1),M3(−1;0;1),M4(−4;6;−3).

4

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) обєм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

7. Дано вектори p = (3;−2;1), q = (−1;1;−2),r = (2;1;−3). Довести,

що вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (11;−6;5) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Ox.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

,

8. Дано вектори a

= p

+ 2q,b

= 3p

q

 

 

 

 

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

p

= 1,

q

= 2,(p,q) =

 

. Знайти:

 

 

 

6

 

 

 

 

 

 

 

 

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

в) проекцію

 

 

ï ð (a

−2b).

 

b

 

9. Дано точки A(2;−1),B(4;5),C(−3;2).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: площиною Oyz; площиною, що проходить через точку (0;0;1) паралельно площині Oxy; пло-

щиною, що проходить через точку (1;2;0) і містить вісь Oz; площиною, що

проходить через точку (0;3;0) і пряму

 

x

=

 

y

=

 

z − 4

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−3

0

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зобразити піраміду графічно.

 

12. Задано точку M0(2;3;1) та прямі

 

 

 

 

l :

x +1

 

=

 

y

 

=

z −2

;

 

 

 

 

2

 

 

−1

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

z

 

 

 

 

 

 

 

l2 :

 

 

=

 

 

 

=

 

.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

−3

1

 

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо мала піввісь b = 15 та один з фокусів F(−10;0);

б) гіперболи, якщо дійсна піввісь a = 13,

ексцентриситет ε =

14

;

 

13

 

 

в) параболи, якщо

 

її директриса

D : x = −4;

 

 

 

5

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

9x2 − 4xy + 6y2 +16x − 8y −2 = 0.

15.Визначити тип та побудувати пове- рхню:

x2 y2 = 8z.

16.Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

x +y + z = 4,x = 2,y = 3,

x= 0,y = 0,z = 0.

17.Скласти рівняння поверхні тіла,

утвореного

обертанням

кривої

x + 2y = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

навколо осі Ox. Зробити

 

= 0

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рисунок.

18. Зясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

Ax = (x1 + x2;2x1 + x3;3x1 x2 + x3)

Bx = (x1;x2 +1;x3 + 2).

19. Знайти власні чи-

 

1

0

1

 

сла і власні вектори

 

 

A =

−10

1

0

.

матриці A. Побуду-

вати подібну їй діа-

 

6

0

2

 

гональну матрицю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

x12 −15x22 + 4x1x2 −2x1x3 + 6x2x3.

1 2 1 0
2 2 2 −1
3 4 1 −1
1 −2 −1 0

Варіант 2

1. Обчислити визначник:

а) зведенням до три- кутного вигляду; б) методом розкладу

за елементами деяко- го рядка або стовпця.

2. Довести, що матриця A задовольняє рівняння f(x) = 0 :

A =

5

 

3

;f(x) = x2 − 6x −1.

2

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Для матриці A знайти обернену мат-

рицю A−1. Результат перевірити.

 

 

 

 

3

 

4

 

 

2

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a) A =

1 1

; б) A =

1 2 1

.

 

 

 

 

 

 

 

1

1

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Розвязати систему рівнянь:

 

 

а) за формулами

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x + 2y + z = 13,

 

 

 

 

 

 

Крамера;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ z

= −3,

 

 

 

 

 

x −2y

б) методом Гаусса.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x y

+ z

= 6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розвязків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розвязок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í загальний розвязок неоднорі- дної системи; xç.î загальний розвязок однорідної системи; x÷.í частинний розвязок неоднорідної системи.

 

2x

1

+ 5x

2

+ x

3

+ 3x

4

= 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x1

+ 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+14x

 

+ x

 

+ 7x

 

= 4,

4x

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x

 

− 3x

 

+ 3x

 

+ x

 

= 2.

 

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Дано координати точок M1(−4;2;6),

M2(2;−3;0),M3(−10;5;8),M4(−5;2;−4).

6

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) обєм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

7.

Дано

вектори

p = (2;1;0),

q = (1;−1;2),r

= (2;2;−1). Довести, що

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (3;7;−7) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Ox.

8.

Дано

вектори

a = 3p +q

 

і

 

 

 

 

 

 

 

π

b = p −2q,

 

 

 

 

 

 

 

 

p

= 4,

q

= 1,(p,q) =

 

.

 

4

 

 

 

 

 

 

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

в) проекцію

 

 

ï ð (2a

− 3b).

 

b

 

9. Дано точки A(−1;2),B(3;−1),C(0;4).

УABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: площиною Oxy; площиною Oyz; площиною, що прохо- дить через точки (0;0;3) і (0;1;0) пара-

лельно осі Ox; площиною, що прохо-

дить

через

точку

(0;0;3) і

пряму

x −2

=

y

=

 

z

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зобразити піраміду графічно.

 

12. Задано точку M0 (1;2;

3) та прямі

 

 

 

 

 

x −1

 

 

 

y + 2

 

2

z +1

 

 

 

 

l :

=

=

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

−1

 

 

 

0

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x

=

y −1

=

z +1

 

 

 

 

l2 :

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

1

2

 

 

−1

 

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса, якщо мала піввісь b = 2 і один з фокусівF(42;0);

б) гіперболи, якщо дійсна піввісь a = 7,

ексцентриситет ε = 785;

7

в) параболи, якщо її директриса

D : x = 5.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

5x2 +12xy −22x −12y −19 = 0.

15.Визначити тип та побудувати пове- рхню:

x2 + 4y2 = 16z.

16.Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

z= x2 +y2,x +y = 4, x = 0,y = 0,z = 0.

17.Скласти рівняння поверхні тіла,

утвореного

обертанням

кривої

 

2

 

y

2

 

 

 

x

 

 

= 1,

 

 

 

2

 

2

 

 

 

 

b

 

навколо осіOx. Зробити

a

 

 

 

 

 

= 0

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

рисунок.

18. Зясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

Ax = (0;x2 x3;0)

Bx = (3x1 + 5x3;x1 + x2 +1;3x2 − 6x3).

19. Знайти власні чи-

 

 

−2

0

4

 

сла і власні вектори

 

 

 

 

 

 

 

 

 

матриці A. Побуду- A =

 

 

8

4

11

.

вати подібну їй діа-

 

 

−1

0

3

 

гональну матрицю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

−11x12 −6x22 −6x32 +

+12x1x2 −12x1x3 + 6x2x3.

x − 3y + 4z = 8,
x +y z = 2,
x y + 4z = 10.

Варіант 3

1. Обчислити визначник:

а) зведенням до 1 трикутного вигляду; −1 б) методом розк- ладу за елемента- 0 ми деякого рядка 0 або стовпця.

−3

−2

7

2

3

−7

3

−3

8

−3

3

−7

2. Довести, що матриця A задовольняє рівняння f(x) = 0 :

A =

−2

4

,f(x) = x2

+ 7x −2.

3

−5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Для матриці A знайти обернену мат-

рицю A−1. Результат перевірити.

 

 

 

 

1

2

 

 

1

2

 

−3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) A =

−3 −5

; б) A =

1 1

6

.

 

 

 

 

 

 

1

0

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Розвязати систему рівнянь:

а) за формулами Крамера; б) методом Гаусса.

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розвязків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розвязок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í загальний розвязок неоднорі- дної системи; xç.î загальний розвязок однорідної системи; x÷.í частинний розвязок неоднорідної системи.

x

1

+ x

2

− 3x

3

= 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 + x3 + 2x4 = −1,

x1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

−2x

 

 

+ 2x

 

= 1,

 

 

2x

1

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3x

 

+ 5x

 

−13x

 

−2x

 

= 9.

 

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Дано координати точок M1(7;2;4),

M2(7;−1;−2),M3(−7;−3;2),M4(−4;2;1).

8

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу M1M2M3;

г) обєм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

7. Дано вектори

p = (0;1;−2),

q = (3;−1;1),r = (4;1;0).

Довести, що

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (−5;9;−13) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Ox.

8.

Дано

вектори

a = p − 3q

 

і

 

 

 

 

1

 

 

 

π

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b = p + 2q,

 

p

=

 

,

q

= 1,(p,q) =

 

.

 

5

2

 

 

 

 

 

 

Знайти:

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

в) проекцію

 

 

ï ð (2a

b).

 

b

 

9. Дано точки A(0;5),B(2;2),C(4;6). У

ABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти:

а) нормальне рівняння площини

M1M2M3;

б) довжину висоти M4H, застосовую-

чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;

в) точку, симетричну точці M4 віднос-

но площини M1M2M3;

г) точку, симетричну точці M4 віднос-

но ребра M1M2;

д) кут між прямою M1M4 та площи-

ною M1M2M3;

е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами

M1M2M4 та M1M2M3.

11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: площинами Oxy та Oxz; площиною, що проходить через

прямі:

x −1

=

y −2

= z −1 і x = t,

−2

 

 

 

2

 

y = 2,z = t;

площиною, що проходить

 

 

 

3x z − 3 = 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

через пряму

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

парале-

 

= 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

льно осі Oy.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Зобразити піраміду графічно.

12. Задано точку M0(1;0;4) та прямі

l :

 

x +1

=

 

y

=

 

z −2

;

 

 

 

1

 

1

 

 

0

 

 

1

 

 

 

 

 

l2 :

x −1

=

y + 2

=

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

1

 

 

 

 

3

 

−1

а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;

б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу

відстань між ними.

13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:

а) еліпса Ε, якщоA(3;0),B(2;35) Ε;

б) гіперболи Γ, якщо рівняння її асимп-

тот y = ±43x;A(−8;0) Γ;

9

в) параболи, якщо її директриса

D : y = −2.

Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.

14. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:

4x2 − 4xy +y2 −6x + 3y − 4 = 0.

15. Визначити тип та побудувати пове- рхню:

9x2 + 4y2 = 36 − 36z2.

16. Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:

2z = x2 +y2,x2 +y2 ax = 0,z = 0.

17. Скласти рівняння поверхні тіла, утвореного обертанням кривої

 

2

= 2py,

x

 

 

 

 

 

навколо осі Ox. Зробити

 

 

 

z

 

= 0

 

 

 

 

рисунок.

18.

 

Зясувати, які із заданих відобра-

жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:

Ax = (3x

1

+ 2x

2

x2;2x

1

+ x

3

;3x

1

x

2

)

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

Bx = (0;3x1 −2x2;x1 + x2 − 3x3).

 

 

 

19. Знайти власні чи-

 

 

 

 

3

10

1

 

 

 

 

 

 

сла і власні вектори

 

 

 

 

 

A =

0

 

1

0

.

матриці A. Побуду-

 

вати подібну їй діаго-

 

 

 

 

1

 

2

3

 

нальну матрицю.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.

21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:

9x12 + 6x22 + 6x32 +

+12x1x2 −10x1x3 −2x2x3.

x − 3y + 4z = 10,
3x −6y + z = 0,
x + 3y + 3z = 13.

Варіант 4

1. Обчислити визначник:

а) зведенням до 1 трикутного вигляду; 0 б) методом розкла- ду за елементами −1 деякого рядка або 2 стовпця.

2−1 −1

−1 1 2

11 −1

−1 0 0

2. Довести, що матриця A задовольняє рівняння f(x) = 0 :

A =

 

7

1

 

;f(x) = x2

−9x +10.

 

4

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Для матриці A знайти обернену мат-

рицю A−1. Результат перевірити.

 

 

 

−1

 

4

 

1

1

−1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) A =

2 −7

; б) A =

2 1

0

.

 

 

 

 

 

 

 

1

−1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Розвязати систему рівнянь:

а) за формулами Крамера; б) методом Гаусса.

5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розвязків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розвязок неоднорідної сис-

теми за формулою:

xç.í = xç.î + x÷.í ,

де xç.í загальний розвязок неоднорі- дної системи; xç.î загальний розвязок однорідної системи; x÷.í частинний розвязок неоднорідної системи.

x

1

+ 2x

2

− 3x

3

+ x

4

 

 

= 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2x1 x2

+ x3 − 3x4 = 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

+ x

 

−2x

 

−2x

 

 

 

= 3,

3x

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

− 3x

 

+ 4x

 

− 4x

 

 

= 1.

x

1

2

3

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Дано координати точок M1(2;1;4),

M2(−1;5;−2),M3(−7;−3;2),M4(−6;−3;6).

10

Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:

а) довжину та напрямні косинуси век-

тора M1M2;

б) кут M2M1M3;

в) площу

M1M2M3;

г) обєм піраміди M1M2M3M4;

д) висоту піраміди M4H, застосовую-

чи проекцію вектора на вісь.

7. Дано

вектори p = (0;5;1),

q = (3;2;−1),r = (−1;1;0). Довести, що

вони утворюють базис. Знайти:

а) координати вектора a = (−15;5;6) в цьому базисі;

б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Ox.

8.

Дано

 

вектори

 

a = 3p −2q

 

і

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b = p + 5q,

p

= 4,

 

q

=

 

 

,(p,q) =

 

.

 

2

6

Знайти:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

а) площу трикутника, побудованого на

векторах a і b;

б) довжини діагоналей паралелограма,

побудованого на векторах a і b;

 

 

в) проекцію ï ð (−a

+ 2b).

b

 

9. Дано точки A(3;1),B(5;4),C(1;3). У

ABC знайти:

а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;

в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.

10. Дано координати точок M1,M2,M3,

M4 (див. завдання 6). Знайти: