РОЗРАХУНКОВА
.pdfМІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ НАЦІОНАЛЬНИЙ ТЕХНІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ УКРАЇНИ «КИЇВСЬКИЙ ПОЛІТЕХНІЧНИЙ ІНСТИТУТ»
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ. ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
ЗБІРНИК ЗАВДАНЬ ДО ТИПОВОЇ РОЗРАХУНКОВОЇ РОБОТИ
ДЛЯ СТУДЕНТІВ І КУРСУ ТЕХНІЧНИХ ФАКУЛЬТЕТІВ
Затверджено Методичною радою НТУУ «КПІ»
Київ «ПОЛІТЕХНІКА»
2001
Аналітична геометрія. Лінійна алгебра: Збірник завдань до типової розрахункової роботи для студентів І курсу факультетів електроного профілю / Уклад.: Н.Р. Коновалова, Г.Г. Барановська, І.О. Федотова та ін. — К.: ІВЦ
«Політехніка», 2001. — 65 с.
Гриф надано Методичною радою НТУУ «КПІ» (Протокол № від )
Навчальне видання
АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ ЛІНІЙНА АЛГЕБРА
Збірник завдань до типової розрахункової роботи для студентів І курсу технічних факультетів
Укладачі: Коновалова Наталія Романівна Барановська Галина Григорівна Федотова Ірина Олексіївна Алексєєва Ірина Віталіївна Дем’яненко Ольга Олегівна Кіндибалюк Адріана Юріївна Нефьодова Галина Дмитрівна Трофимчук Олена Петрівна Гайдей Віктор Олександрович
Відповідальний редактор: В.В. Булдигін — д-р фіз.-мат. наук, проф.
Рецензент: В.Г. Лозовик — канд. фіз.-мат. наук, доц.
Темплан 2001, поз.
Підп. до друку 00.00.01. Формат 60×84 1/16. Папір . Друк офс. Ум. друк. арк. Обл.-вид. арк. Зам. № . Наклад 200 пр.
Інформаційно-видавничий центр «Політехніка» Друкарня НТУУ «КПІ»
03056, Київ-56, просп. Перемоги, 37
Вступ
При вивченні курсу «Аналітична геометрія та лінійна алгебра» студенти знайомляться з основними положеннями теорії визначників, систем лінійних алгебраїчних рівнянь, векторної алгебри та ін. Навчальним планом даної дисципліни передбачено також набування студентами навичок виконання ряду типових завдань.
Даний збірник підготовлено з метою організації регулярної роботи студентів по вивченню курсу. Кожен студент розв’язує задачі одного з 30 запропонованих варіантів завдань. Крім того, збірник містить додаткові задачі, які обираються і розв’язуються за бажанням студента.
3
Варіант 1
1. Обчислити визначник:
а) зведенням до три- кутного вигляду; б) методом розкладу
за елементами деяко- го рядка або стовпця.
2. Довести, що матриця A задовольняє рівняння f(x) = 0 :
A = |
1 |
−1 |
;f(x) = x2 − 4x + 5. |
||||||
2 |
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
3. Для матриці A знайти обернену мат- |
|||||||||
рицю A−1. Результат перевірити. |
|
|
|||||||
|
1 |
−1 |
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) A = |
|
; б) A = |
1 −1 0 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
−1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||||
4. Розв’язати систему рівнянь: |
|
|
|
||||||
а) за формулами |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2y −z |
= 13, |
||||
|
|
|
x |
||||||
Крамера; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+ z = 16, |
|||
|
|
|
2x + 3y |
||||||
б) методом Гаусса. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
+y + 4z |
= −1. |
||||
|
|
|
x |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фу- ндаментальну систему розв’язків відпо- відної однорідної системи. Знайти зага- льний розв’язок неоднорідної системи за
формулою:
xç.í = xç.î + x÷.í ,
де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.
x |
1 |
+ x |
2 |
+ x |
3 |
+ x |
4 |
= 1, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x2 + 4x3 + 3x4 = 2, |
||||||||||||||||
x1 |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2x |
|
|
+ 5x |
|
|
+ 4x |
|
|
= 3, |
||||||
2x |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x |
|
+ 4x |
|
+ 7x |
|
|
+ 6x |
|
= 5. |
|||||||||
|
1 |
2 |
3 |
|
4 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Дано координати точок M1(1;3;6),
M2(2;2;1),M3(−1;0;1),M4(−4;6;−3).
4
Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:
а) довжину та напрямні косинуси век-
тора M1M2;
б) кут M2M1M3;
в) площу M1M2M3;
г) об’єм піраміди M1M2M3M4;
д) висоту піраміди M4H, застосовую-
чи проекцію вектора на вісь.
7. Дано вектори p = (3;−2;1), q = (−1;1;−2),r = (2;1;−3). Довести,
що вони утворюють базис. Знайти:
а) координати вектора a = (11;−6;5) в цьому базисі;
б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Ox.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
8. Дано вектори a |
= p |
+ 2q,b |
= 3p |
−q |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
= 1, |
q |
= 2,(p,q) = |
|
. Знайти: |
|
|
|||
|
6 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
а) площу трикутника, побудованого на
векторах a і b;
б) довжини діагоналей паралелограма,
побудованого на векторах a і b;
в) проекцію |
|
|
ï ð (a |
−2b). |
|
|
b |
|
9. Дано точки A(2;−1),B(4;5),C(−3;2).
УABC знайти:
а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;
в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.
10. Дано координати точок M1,M2,M3,
M4 (див. завдання 6). Знайти:
а) нормальне рівняння площини
M1M2M3;
б) довжину висоти M4H, застосовую-
чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;
в) точку, симетричну точці M4 віднос-
но площини M1M2M3;
г) точку, симетричну точці M4 віднос-
но ребра M1M2;
д) кут між прямою M1M4 та площи-
ною M1M2M3;
е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами
M1M2M4 та M1M2M3.
11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: площиною Oyz; площиною, що проходить через точку (0;0;1) паралельно площині Oxy; пло-
щиною, що проходить через точку (1;2;0) і містить вісь Oz; площиною, що
проходить через точку (0;3;0) і пряму
|
x |
= |
|
y |
= |
|
z − 4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
−3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Зобразити піраміду графічно. |
|
||||||||||||||||||
12. Задано точку M0(2;3;1) та прямі |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
l : |
x +1 |
|
= |
|
y |
|
= |
z −2 |
; |
||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
−1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
y |
|
z |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
l2 : |
|
|
= |
|
|
|
= |
|
. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
−3 |
1 |
|
а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;
б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу
відстань між ними.
13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:
а) еліпса, якщо мала піввісь b = 15 та один з фокусів F(−10;0);
б) гіперболи, якщо дійсна піввісь a = 13,
ексцентриситет ε = |
14 |
; |
||
|
13 |
|||
|
|
|||
в) параболи, якщо |
|
її директриса |
||
D : x = −4; |
|
|
|
5
Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.
14. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:
9x2 − 4xy + 6y2 +16x − 8y −2 = 0.
15.Визначити тип та побудувати пове- рхню:
x2 −y2 = 8z.
16.Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:
x +y + z = 4,x = 2,y = 3,
x= 0,y = 0,z = 0.
17.Скласти рівняння поверхні тіла,
утвореного |
обертанням |
кривої |
|
x + 2y = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
навколо осі Ox. Зробити |
|
|
= 0 |
||
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
рисунок.
18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:
Ax = (x1 + x2;2x1 + x3;3x1 −x2 + x3)
Bx = (x1;x2 +1;x3 + 2).
19. Знайти власні чи- |
|
1 |
0 |
1 |
|
|
сла і власні вектори |
|
|
||||
A = |
−10 |
1 |
0 |
. |
||
матриці A. Побуду- |
||||||
вати подібну їй діа- |
|
6 |
0 |
2 |
|
|
гональну матрицю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.
21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:
x12 −15x22 + 4x1x2 −2x1x3 + 6x2x3.
Варіант 2
1. Обчислити визначник:
а) зведенням до три- кутного вигляду; б) методом розкладу
за елементами деяко- го рядка або стовпця.
2. Довести, що матриця A задовольняє рівняння f(x) = 0 :
A = |
5 |
|
3 |
;f(x) = x2 − 6x −1. |
||||||
2 |
|
1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Для матриці A знайти обернену мат- |
||||||||||
рицю A−1. Результат перевірити. |
|
|
||||||||
|
|
3 |
|
4 |
|
|
2 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a) A = |
1 1 |
; б) A = |
1 2 1 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
4. Розв’язати систему рівнянь: |
|
|
||||||||
а) за формулами |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x + 2y + z = 13, |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Крамера; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ z |
= −3, |
|
|
|
|
|
|
x −2y |
|||||
б) методом Гаусса. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
4x −y |
+ z |
= 6. |
||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-
теми за формулою:
xç.í = xç.î + x÷.í ,
де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.
|
2x |
1 |
+ 5x |
2 |
+ x |
3 |
+ 3x |
4 |
= 2, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4x1 |
+ 6x2 + 3x3 + 5x4 = 4, |
||||||||||
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+14x |
|
+ x |
|
+ 7x |
|
= 4, |
|||
4x |
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
− 3x |
|
+ 3x |
|
+ x |
|
= 2. |
|||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Дано координати точок M1(−4;2;6),
M2(2;−3;0),M3(−10;5;8),M4(−5;2;−4).
6
Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:
а) довжину та напрямні косинуси век-
тора M1M2;
б) кут M2M1M3;
в) площу M1M2M3;
г) об’єм піраміди M1M2M3M4;
д) висоту піраміди M4H, застосовую-
чи проекцію вектора на вісь.
7. |
Дано |
вектори |
p = (2;1;0), |
q = (1;−1;2),r |
= (2;2;−1). Довести, що |
вони утворюють базис. Знайти:
а) координати вектора a = (3;7;−7) в цьому базисі;
б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Ox.
8. |
Дано |
вектори |
a = 3p +q |
|
і |
|||
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
b = p −2q, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
= 4, |
q |
= 1,(p,q) = |
|
. |
||
|
4 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Знайти:
а) площу трикутника, побудованого на
векторах a і b;
б) довжини діагоналей паралелограма,
побудованого на векторах a і b;
в) проекцію |
|
|
ï ð (2a |
− 3b). |
|
|
b |
|
9. Дано точки A(−1;2),B(3;−1),C(0;4).
УABC знайти:
а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;
в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.
10. Дано координати точок M1,M2,M3,
M4 (див. завдання 6). Знайти:
а) нормальне рівняння площини
M1M2M3;
б) довжину висоти M4H, застосовую-
чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;
в) точку, симетричну точці M4 віднос-
но площини M1M2M3;
г) точку, симетричну точці M4 віднос-
но ребра M1M2;
д) кут між прямою M1M4 та площи-
ною M1M2M3;
е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами
M1M2M4 та M1M2M3.
11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: площиною Oxy; площиною Oyz; площиною, що прохо- дить через точки (0;0;3) і (0;1;0) пара-
лельно осі Ox; площиною, що прохо-
дить |
через |
точку |
(0;0;3) і |
пряму |
|||||||||||||||||||
x −2 |
= |
y |
= |
|
z |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
−4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Зобразити піраміду графічно. |
|
||||||||||||||||||||||
12. Задано точку M0 (1;2; |
3) та прямі |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x −1 |
|
|
|
y + 2 |
|
2 |
z +1 |
|
||||||||||
|
|
|
l : |
= |
= |
; |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
−1 |
|
|
|
0 |
|
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
x |
= |
y −1 |
= |
z +1 |
|
||||||||||||
|
|
|
l2 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
||||||||||
|
|
|
1 |
2 |
|
|
−1 |
|
а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;
б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу
відстань між ними.
13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:
а) еліпса, якщо мала піввісь b = 2 і один з фокусівF(42;0);
б) гіперболи, якщо дійсна піввісь a = 7,
ексцентриситет ε = 785;
7
в) параболи, якщо її директриса
D : x = 5.
Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.
14. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:
5x2 +12xy −22x −12y −19 = 0.
15.Визначити тип та побудувати пове- рхню:
x2 + 4y2 = 16z.
16.Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:
z= x2 +y2,x +y = 4, x = 0,y = 0,z = 0.
17.Скласти рівняння поверхні тіла,
утвореного |
обертанням |
кривої |
|||||
|
2 |
|
y |
2 |
|
|
|
x |
|
− |
|
= 1, |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
||
|
|
b |
|
навколо осіOx. Зробити |
|||
a |
|
|
|
|
|||
|
= 0 |
|
|
|
|
||
z |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
рисунок.
18. З’ясувати, які із заданих відобра- жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:
Ax = (0;x2 −x3;0)
Bx = (3x1 + 5x3;x1 + x2 +1;3x2 − 6x3).
19. Знайти власні чи- |
|
|
−2 |
0 |
4 |
|
сла і власні вектори |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
матриці A. Побуду- A = |
|
|
8 |
4 |
11 |
. |
вати подібну їй діа- |
|
|
−1 |
0 |
3 |
|
гональну матрицю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.
21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:
−11x12 −6x22 −6x32 +
+12x1x2 −12x1x3 + 6x2x3.
Варіант 3
1. Обчислити визначник:
а) зведенням до 1 трикутного вигляду; −1 б) методом розк- ладу за елемента- 0 ми деякого рядка 0 або стовпця.
−3 |
−2 |
7 |
2 |
3 |
−7 |
3 |
−3 |
8 |
−3 |
3 |
−7 |
2. Довести, що матриця A задовольняє рівняння f(x) = 0 :
A = |
−2 |
4 |
,f(x) = x2 |
+ 7x −2. |
|||||||
3 |
−5 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
3. Для матриці A знайти обернену мат- |
|||||||||||
рицю A−1. Результат перевірити. |
|
|
|||||||||
|
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
−3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) A = |
−3 −5 |
; б) A = |
1 1 |
6 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Розв’язати систему рівнянь:
а) за формулами Крамера; б) методом Гаусса.
5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-
теми за формулою:
xç.í = xç.î + x÷.í ,
де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.
x |
1 |
+ x |
2 |
− 3x |
3 |
= 2, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−x2 + x3 + 2x4 = −1, |
|||||||||||||
x1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−2x |
|
|
+ 2x |
|
= 1, |
|
|
|||||
2x |
1 |
3 |
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
+ 5x |
|
−13x |
|
−2x |
|
= 9. |
|||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Дано координати точок M1(7;2;4),
M2(7;−1;−2),M3(−7;−3;2),M4(−4;2;1).
8
Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:
а) довжину та напрямні косинуси век-
тора M1M2;
б) кут M2M1M3;
в) площу M1M2M3;
г) об’єм піраміди M1M2M3M4;
д) висоту піраміди M4H, застосовую-
чи проекцію вектора на вісь.
7. Дано вектори |
p = (0;1;−2), |
q = (3;−1;1),r = (4;1;0). |
Довести, що |
вони утворюють базис. Знайти:
а) координати вектора a = (−5;9;−13) в цьому базисі;
б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Ox.
8. |
Дано |
вектори |
a = p − 3q |
|
і |
|||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
π |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = p + 2q, |
|
p |
= |
|
, |
q |
= 1,(p,q) = |
|
. |
|
|
5 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
Знайти:
а) площу трикутника, побудованого на
векторах a і b;
б) довжини діагоналей паралелограма,
побудованого на векторах a і b;
в) проекцію |
|
|
ï ð (2a |
−b). |
|
|
b |
|
9. Дано точки A(0;5),B(2;2),C(4;6). У
ABC знайти:
а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;
в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.
10. Дано координати точок M1,M2,M3,
M4 (див. завдання 6). Знайти:
а) нормальне рівняння площини
M1M2M3;
б) довжину висоти M4H, застосовую-
чи формулу знаходження відстані від точки M4 до площини M1M2M3;
в) точку, симетричну точці M4 віднос-
но площини M1M2M3;
г) точку, симетричну точці M4 віднос-
но ребра M1M2;
д) кут між прямою M1M4 та площи-
ною M1M2M3;
е) рівняння площини, яка поділяє навпіл двогранний кут між площинами
M1M2M4 та M1M2M3.
11. Скласти рівняння усіх граней піра- міди, яка обмежена: площинами Oxy та Oxz; площиною, що проходить через
прямі: |
x −1 |
= |
y −2 |
= z −1 і x = t, |
|
−2 |
|
|
|||
|
2 |
|
y = 2,z = t; |
площиною, що проходить |
|||||||||||||
|
|
|
3x −z − 3 = 0, |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через пряму |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
парале- |
|||
|
= 0, |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
льно осі Oy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Зобразити піраміду графічно. |
||||||||||||||
12. Задано точку M0(1;0;4) та прямі |
||||||||||||||
l : |
|
x +1 |
= |
|
y |
= |
|
z −2 |
; |
|||||
|
|
|
1 |
|
||||||||||
1 |
|
|
0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
l2 : |
x −1 |
= |
y + 2 |
= |
z |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
−1 |
а) скласти канонічне рівняння та обчи- слити довжину перпендикуляра, прове- деного з точки M0 на пряму l1;
б) знайти рівняння спільного перпенди- куляра до прямих l1 і l2 та найкоротшу
відстань між ними.
13. Скласти канонічне та полярне рів- няння:
а) еліпса Ε, якщоA(3;0),B(2;35) Ε;
б) гіперболи Γ, якщо рівняння її асимп-
тот y = ±43x;A(−8;0) Γ;
9
в) параболи, якщо її директриса
D : y = −2.
Визначити всі характеристики кривих. Побудувати ці криві.
14. Записати канонічне рівняння кривої другого порядку, визначити її тип:
4x2 − 4xy +y2 −6x + 3y − 4 = 0.
15. Визначити тип та побудувати пове- рхню:
9x2 + 4y2 = 36 − 36z2.
16. Побудувати тіло, обмежене поверх- нями:
2z = x2 +y2,x2 +y2 −ax = 0,z = 0.
17. Скласти рівняння поверхні тіла, утвореного обертанням кривої
|
2 |
= 2py, |
|
x |
|
|
|
|
|
|
навколо осі Ox. Зробити |
|
|
|
|
z |
|
= 0 |
|
|
|
|
|
рисунок. |
|||
18. |
|
З’ясувати, які із заданих відобра- |
жень R3 → R3 є лінійними. Для ліній- них відображень обчислити їх матриці в канонічному базисі:
Ax = (3x |
1 |
+ 2x |
2 |
−x2;2x |
1 |
+ x |
3 |
;3x |
1 |
−x |
2 |
) |
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Bx = (0;3x1 −2x2;x1 + x2 − 3x3). |
|
|
|
||||||||||||
19. Знайти власні чи- |
|
|
|
|
3 |
10 |
1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||
сла і власні вектори |
|
|
|
|
|
||||||||||
A = |
0 |
|
1 |
0 |
. |
||||||||||
матриці A. Побуду- |
|
||||||||||||||
вати подібну їй діаго- |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
||||||
нальну матрицю. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20.Знайти ортогональні перетворення, які приводять квадратичну форму з за- вдання 14 до канонічного вигляду, за- писати канонічний вигляд цієї форми.
21.Застосовуючи теорему Сильвестра, дослідити на знаковизначеність квадра- тичну форму:
9x12 + 6x22 + 6x32 +
+12x1x2 −10x1x3 −2x2x3.
Варіант 4
1. Обчислити визначник:
а) зведенням до 1 трикутного вигляду; 0 б) методом розкла- ду за елементами −1 деякого рядка або 2 стовпця.
2−1 −1
−1 1 2
11 −1
−1 0 0
2. Довести, що матриця A задовольняє рівняння f(x) = 0 :
A = |
|
7 |
1 |
|
;f(x) = x2 |
−9x +10. |
||||
|
4 |
2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. Для матриці A знайти обернену мат- |
||||||||||
рицю A−1. Результат перевірити. |
|
|
||||||||
|
−1 |
|
4 |
|
1 |
1 |
−1 |
|
||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) A = |
2 −7 |
; б) A = |
2 1 |
0 |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
−1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Розв’язати систему рівнянь:
а) за формулами Крамера; б) методом Гаусса.
5. Дослідити на сумісність систему лі- нійних алгебричних рівнянь. Знайти фундаментальну систему розв’язків ві- дповідної однорідної системи. Знайти загальний розв’язок неоднорідної сис-
теми за формулою:
xç.í = xç.î + x÷.í ,
де xç.í — загальний розв’язок неоднорі- дної системи; xç.î — загальний розв’язок однорідної системи; x÷.í — частинний розв’язок неоднорідної системи.
x |
1 |
+ 2x |
2 |
− 3x |
3 |
+ x |
4 |
|
|
= 1, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x1 −x2 |
+ x3 − 3x4 = 2, |
|||||||||||
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ x |
|
−2x |
|
−2x |
|
|
|
= 3, |
|
3x |
1 |
2 |
3 |
4 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− 3x |
|
+ 4x |
|
− 4x |
|
|
= 1. |
|||
x |
1 |
2 |
3 |
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Дано координати точок M1(2;1;4),
M2(−1;5;−2),M3(−7;−3;2),M4(−6;−3;6).
10
Довести, що вони не лежать в одній площині. Знайти:
а) довжину та напрямні косинуси век-
тора M1M2; |
|
б) кут M2M1M3; |
|
в) площу |
M1M2M3; |
г) об’єм піраміди M1M2M3M4; |
|
д) висоту піраміди M4H, застосовую- |
|
чи проекцію вектора на вісь. |
|
7. Дано |
вектори p = (0;5;1), |
q = (3;2;−1),r = (−1;1;0). Довести, що
вони утворюють базис. Знайти:
а) координати вектора a = (−15;5;6) в цьому базисі;
б) одиничний вектор c, який ортогона- льний до векторів p і q, якщо вектор c утворює гострий кут з віссю Ox.
8. |
Дано |
|
вектори |
|
a = 3p −2q |
|
і |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
5π |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b = p + 5q, |
p |
= 4, |
|
q |
= |
|
|
,(p,q) = |
|
. |
||
|
2 |
6 |
||||||||||
Знайти: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а) площу трикутника, побудованого на
векторах a і b;
б) довжини діагоналей паралелограма,
побудованого на векторах a і b;
|
|
в) проекцію ï ð (−a |
+ 2b). |
b |
|
9. Дано точки A(3;1),B(5;4),C(1;3). У
ABC знайти:
а) рівняння медіаниAM , записати як рівняння у відрізках; б) канонічне та загальне рівняння бісе- ктриси BF;
в) рівняння висотиCD , записати як но- рмальне рівняння та рівняння з кутовим коефіцієнтом, обчислити довжину CD; г) параметричне рівняння прямої, що проходить через точку A паралельно до бісектриси BF.
10. Дано координати точок M1,M2,M3,
M4 (див. завдання 6). Знайти: