та. В таком закодированной виде голограмма содержит полную информацию об амплитудах и фазах рассеянной волны.
Чтобы перевести с пластинки изображение в пространство, опорный пучок направляется на фотопластинку, дифрагирует на ней, в результате чего образуется волна, имеющая точно такую же структуру, как и волна отражавшаяся предметом.
лазер
опорный пучок
зер- |
|
кало |
заглушка |
|
|
Наблюдение голографического |
|
изображения ведется с |
мнимое |
этой стороны |
изображение |
|
предмета |
фотопластинка |
|
Изображение объемное, мнимое (как в зеркале)
и смотреть на него можно со стороны фотопластинки из разных положений, но ограниченно. Если при съемке близкие предметы закрывали удаленные, то и при просмотре голографического снимка сместившись в сторону можно заглянуть за предмет: восприятие от периферической части голограммы (там, где тоже были лучи и они тоже интерферировали). Часть пластинки также даст картину, но менее четкую. Таковы основные принципы черно-белой голографии.
Глава 2 Квантовая оптика
Хотя этот раздел и назван квантовой оптикой, но резкого разделения на квантовую и волновую природу электромагнитного излучения делать не следует. Скорее мы здесь будем искать ответ на вопрос: в какой мере электромагнитные волны - кванты ?
§ 1 Тепловое излучение. Закон теплового излучения Кирхгофа
Обратимся к электромагнитному излучению инфракрасной области, так называемому тепловому излучению и частично видимого спектра (за счет внутренней энергии тел). Заметим, что внутренняя энергия является как бы посредником между данным разделом и таким разделом физики как молекулярная физика.
Все тела вокруг нас в разной степени нагреты и передают путем излучения тепло друг другу в окружающем пространстве. Сильно разогретые тела – спирали лампочек, печей излучают видимый свет. Менее нагретые тела – красноватый, очень сильно – голубой. Известны также различного вида люминесценции – светлячки, гнилушки, люминесцентные лампы, как различные виды холодного свечения. Химические реакции – хемолюминесценция, ударная или катодолюминесценция, фотолюминесценция – результат поглощения электромагнитного излучения. Эти виды излучения находятся за рамками данного рассуждения.
При разговоре о тепловом излучении необходимо появляется понятие равновесного излучения. Повысим температуру тела – возрастет интенсивность излучения (иначе, мощность), понизим, – убудет. Из опыта следует: тела не могут самопроизвольно бесконечно охлаждаться или нагреваться. Если увеличить подвод тепла к телу, то увеличиться и излучение и установиться новое равновесие. Замкнутая равновесная система не охлаждается и не нагревается, возможны только флуктуации. При получении порции тепла система перейдет в новое
361
равновесие. При постоянном поступлении тепла в незамкнутую систему излучение и количество поступающего тепла придут в равновесие.
Введем некоторые количественные физические величины, характеризующие состояние излучения.
w – объемная плотность энергии излучения (лучистой энергии), ее размерность – Дж / м3. Это энергия, приходящаяся на единичный объем пространства.
Образуем спектральную объемную плотность лучистой энергии, приходящуюся на единичный интервал частоты (линейной или циклической) или длины волны.
w λ = dw / dλ, w ν = dw / dν, wω = dw / dω
Такая многозначность возникла исторически из-за многозначности в характеристиках электромагнитного излучения. Здесь можно говорить об объемной плотности лучистой энергии, приходящейся на единичный интервал частоты ( 1 Гц ) или длины волны ( 1 м, а чаще 1 мкм, 1 нм, …). Спектральная зависимость энергии обнаруживается, как известно, по экспериментальным фактом, согласно которым энергия фотонов прямо пропорциональна частоте электромагнитного излучения (или обратно пропорциональна длине волны излучения). Определим размерности трех введенных спектральных плотностей энергии.
[w λ] = Дж / м3 м, [w ν] = Дж / м3 Гц, [w ω] = Дж / м3 м рад.
Объемная плотность энергии для всех трех вариантов вычисляется путем интегрирования по всем возможным частотам или длинам волн.
∞ ∞ ∞
w = ∫ w λ dλ = ∫ w ν dν = ∫ w ω dω 0 0 0
Очевидно достаточно важное соотношение
w λ dλ = w ν dν = w ω dω.
Экспериментаторы как правило предпочитают иметь дело с длиной волны, тогда как теоретики при расчетах предпочитают более удобную в данном случае циклическую частоту. Спектральная плотность лучистой энергии является также и функцией температуры. Рассчитаем поток лучистой энергии dФ, испус-
каемый за время dt с площадки dS внутри телесного угла dΩ и излучаемый с частотами в промежутке от ω до ω + dω.
dΩ
ϕ
ϕ dS
dФ = Eω dS Cos ϕ dΩ dω dt
Ф = ∫ dФ = ∫ Eω dS Cos ϕ dΩ dω dt.
Здесь Eω - излучательная способность (излучательность). Заметим, что полный поток можно получить интегрируя по всем возможным частотам и по полному телесному углу Ω при заданных параметрах: промежутке времени и величине площадки. Прежде, чем сформулировать закон Кирхгофа воспользуемся законом сохранения лучистой энергии, приравняв падающую энергию энергии поглощенной и отраженной. Пусть внутри изолированной полости на площадку dS в пределах телесного угла dΩ падает поток лучистой энергии
dΩ dΩ
ϕ
dS 
тогда справедливо равенство
dФI = dФI,A + dФE.
ФI – падающий поток лучистой энергии,
ФI, A – отраженный поток лучистой энергии (отсчитываемый как доля падающего),
ФЕ – собственный поток лучистой энергии (тот поток, который излучается будучи порожден самим телом).
Рассчитаем все эти потоки.
a. Падающий поток
dФI = Iω dS Cos ϕ dΩ dω dt.
Здесь Iω - поглощательная способность тела (весь внешний поток, который падает на данное тело).
б. Отраженный поток
dФI, A = (1 - Aω) Iω dS Cos ϕ dΩ dω dt.
Здесь Аω - доля поглощенного потока от падающего, тогда (1 - Аω) – доля отраженного потока от падающего.
в. Поток собственного излучения
dФ = Eω dS Cos ϕ dΩ dω dt.
Исходя из условия равновесия (закона сохранения энергии), приравняв соответствующие части и учитывая, что площадка, телесный угол и время одни и те же, имеем
Iω = (1 - Aω)Iω + Eω Aω Iω = Eω.
Здесь Аω характеризует поглощательную способность, Еω - излучательную, а Iω - падающее излучение получим
Аω = Еω / Iω
закон Кирхгофа (Густав Роберт, немецкий физик, 1859 г). Определение. Отношение лучеиспускательной способности к его поглощательной способности
364
одинаково для всех тел и является функцией частоты и температуры. Отметим размерности вновь введенных физических величин
[Eω] = [Iω] = Вт / м2 стерад. (рад/с) с = Вт / м2 с = Дж / м2.
Очевидно, что Аω безразмерно. Определение абсолютно черного тела. Тело, поглощательная способность которого равна 1 , то есть которое поглощает целиком всю энергию падающего на него излучения называется абсолютно черным телом. При этом излучается абсолютно черным телом при его нагреве весь спектр частот, то есть все то, что и поглощается. Модель абсолютно черного тела часто изображают так
§ 2 Закон Стефана-Больцмана. Закон Вина и формула Вина
Стефаном (Чехия, 1879г) экспериментально установлен закон. Для черных тел излучательная способность пропорциональна четвертой степени температуры.
Eω ~ T4 , Eω = σ T4, σ = 5,64 10 – 8 Вт / м2 К4.
О законе Вина. Вин показал, что спектральное распределение (то есть зависимость от частоты) плотности энергии подчиняется уравнению вида
wν = ν3 F(ν/T),
то есть ее можно представить в виде произведения куба частоты на некоторую функцию, которая, что существенно, зависит от отношения частоты к темпера-
туре. Если вычислить плотность энергии, просуммировав по всем частотам. получим
∞∞
w = ∫ wν dν = ∫ ν3 F(ν/T) dν = (x = ν/T, ν = x T, dν = t dx) = 0 0
∞
= T4 ∫ x3 F(x) dx = σ T4 0
закон Стефана-Больцмана (Б. Людвиг, 1844-1906, известный австрийский фи- зик-теоретик).
Известна экспериментальная зависимость энергии излучения от длины волны тела, близкого к абсолютно черному телу (угольный стержень, просверленный внутри, с окошком, излучающий от внутренней стенки).
0.822587 |
1 |
|
|
|
|
|
x |
3 |
0.8 |
|
|
1.2 |
|
|
|
|
|
|
|
e x |
1 |
|
|
|
x |
3 |
0.6 |
|
|
1.5 |
|
|
|
|
e x |
1 |
0.4 |
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ex |
1 |
0.2 |
|
|
. |
253 |
|
|
|
3.312996 10 |
|
0 |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
|
|
0 |
x |
2 |
|
|
|
x-длина волны |
|
Как это следует из графика, зависимость плотности энергии от длины волны излучения представляет собой кривую с максимумом. При увеличении температуры абсолютная величина энергии растет, а длина волны, соответствующая точке максимума энергии сдвигается в сторону уменьшения (что соответствует росту частоты или энергии квантов излучения). Ввиду специфики экспериментальных результатов целесообразно функцию Вина исследовать на экстремум. В законе Вина перейдем предварительно к длине волны как аргументу вместо частоты.
wν dν = wλ dλ wλ = wν dν/dλ, ν = c/λ - c dλ/λ2, λ↑ ν↓
dν = cdλ/λ2 wλ = ν3 F(ν/T) dν/dλ = c4 F(c/λT) / λ5.
Чтобы найти максимум функции необходимо продифференцировать ее по аргументу, затем приравнять к 0 и вычислить значение аргумента, которое придает максимальное значение функции.
- 5 c4 F(c/ λ T) – c5 F′λ(c/ λ T) / λ7 T = 0
5 F (c/ λ T) = - F′λ (c/ λ T) c / λ T . (*)
Получилось трансцендентное уравнение. Обратить его в тождество можно либо подбирая аргумент численно, либо графически и таким образом найти то зна-
чение аргумента, при котором выражение (*) обратиться в тождество. Пусть такое значение найдено и
c / λm T = cst′ λm T = cst = b.
Заметим, что b определяется экспериментально (с как можно более высокой степенью точности). Оно равно
b = 2,90 10 – 3 м К.
Формулу λm T = b называют также законом смещения Вина. Если Т↑, то λ↓, и наоборот, если λ↑, то Т↓.
§ 3 Формула Планка
3.1 Формула Релея-Джинса, классические представления
Итак нам неизвестен явный вид функции Вина. Релей и Джинс, исходя из классических представлений рассчитали вид этой функции. Не приводя расчетов запишем вид этой функции.
wy = 8π ν2 kT / c3 или wω = ω2 kT / g2 c3 или wλ = 8π kT / λ4.
Так как kT приблизительно соответствует средней энергии частицы при данной температуре, то иначе можно записать
wν = 8π ν2 <ε> / c3, <ε> = kT.
С другой стороны такая запись удовлетворяет виду функции Вина
wν = (8π ν3 k/c3)(T/ν) = 8π ν3k F(ν/T) / c3.
Однако при сравнении с экспериментально полученной зависимостью, очевидно, возникает несоответствие
∞ ∞ ∞
w = ∫ wλ dλ = 8πkT ∫dλ/λ4 = 8πkT( - 1/λ3) | → ∞. 0 0 0
|
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
ex |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
138 |
|
|
|
|
6.365154 10 |
|
0 |
|
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|
|
0 |
x |
|
3 |
|
|
УФ |
Видим |
|
ИК |
|
|
Теория Релея-Джинса и эксперимент |
Формула Релея-Джинса хорошо описывает правую от максимума часть графика (в данном случае x выполняет роль длины волны излучения). Но с точностью до «наоборот» – левую часть, то есть со стороны коротких волн (больших частот). Необходимо отметить, что исходя из классических представлений вывод по тем временам считался безукоризненным. Физик П. С. Эренфест “окрестил” возникшую ситуацию ультрафиолетовой катастрофой. Таким образом, классическая статистическая механика (наша статистическая физика), основным постулатом которой является теорема о равномерном распределении энергии по степеням свободы не применима к системам с бесконечным числом степеней свободы.
Макс Планк провел рассуждение не относительно излучения как это сделали Релей и Джинс, а по отношению к одномерному гармоническому осциллятору. Согласно модели Макса Планка вещество можно представить себе состоящим из гармонических осцилляторов, роль которых выполняют колеблющиеся атомы. Напомним, что средняя энергия частиц согласно классической статистике распределена между нулем и бесконечностью, а точнее говоря неким максимальным значением энергии, определяемым, к примеру, релятивистскими эффектами, непрерывным образом. То есть энергия в этой модели имеет бесконечное число состояний. Приведем расчет средней энергии. Функция плотности распределения Гиббса определяет вероятность части системы находиться в состоянии с определенной (заданной) энергией, ε
ρε = exp ( - βε ), β = 1/kT
∞ |
∞ |
∞ |
<ε> = ∫ ε exp(- βε) dε / ∫ exp(- βε) dε = |
- d [ln ∫ exp( - βε) dε] / dβ = |
0 |
0 |
0 |
|
|
369 |
