PraktykumRiady

Укладачі:

Алєксєєва Ірина Віталіївна, канд. фіз-мат. наук, доц.

Гайдей Віктор Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.

Диховичний Олександр Олександрович, канд. фіз-мат. наук, доц.

Федорова Лідія Борисівна, канд. фіз-мат. наук, доц.

Відповідальний

О. І. Клесов, д-р фіз.-мат. наук, професор

редактор

Рецензенти:

С. В. Єфіменко, канд. фіз.-мат. наук, доц.

В. Г. Шпортюк, канд. фіз.-мат. наук, доц.

Зміст

Передмова................................................................................................................

6

Розділ 12. РЯДИ......................................................................................................

7

12.1. Числові ряди ............................................................................................

7

12.2. Ряди з додатними членами......................................................................

8

12.3. Знакозмінні ряди і ряди з комплексними членами................................

9

12.4. Функціональні ряди...............................................................................

11

12.5. Степеневі ряди.......................................................................................

12

12.6. Розвинення функцій у степеневі ряди (Тейлорові ряди).....................

14

12.7. Тейлорові розвинення

деяких елементарних функцій з центром у точці x 0 ............................

15

12.8. Ряди Фур’є .............................................................................................

16

12.9. Різні форми ряду Фур’є.........................................................................

17

Розділ 13. ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ ЗМІННОЇ..........................................

19

13.1. Основні поняття про функції комплексної змінної .............................

19

13.2. Основні елементарні функції комплексної змінної.............................

20

13.3. Властивості основних елементарних функцій.....................................

21

13.4. Диференціювання функцій комплексної змінної ................................

22

13.5. Інтегрування функцій комплексної змінної.........................................

23

13.6. Розвинення функцій в Тейлорові й Лоранові ряди..............................

24

13.7. Класифікація ізольованих особливих точок функції...........................

25

13.8. Обчислення лишку функції в ізольованих особливих точках функції26

13.9. Обчислення інтегралів за допомогою лишків......................................

27

Розділ 14. ОПЕРАЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ............................................................

28

14.1. Перетворення Фур’є ..............................................................................

28

14.2. Деякі властивості перетворення Фур’є ................................................

29

14.3. Перетворення Лапласа ..........................................................................

30

14.4. Властивості перетворення Лапласа ......................................................

31

14.5. Таблиця основних перетворень ............................................................

32

14.6. Знаходження оригіналу за зображенням..............................................

32

Зміст

5

Додаток А ............................................................................................................

153

А.1. Допоміжні відомості.............................................................................

153

А.2. Деякі розвинення функцій у ряд Фур’є...............................................

154

Додаток Б. Комплексні числа...........................................................................

155

Б.1. Дії з комплексними числами в алгебричній формі .............................

155

Б.2. Полярна система координат .................................................................

156

Б.3. Дії над комплексними числами

у тригонометричній і показниковій формах...............................................

157

Додаток В.............................................................................................................

158

В.1. Розв’язання задачі Коші з допомогою перетворення Лапласа...........

158

Список використаної і рекомендованої літератури......................................

159

a1 a2

... an ... an .

n 1

a1,a2,...,an,... — члени ряду; an

f (n) — n -й член ряду;

Sn

a1 a2

... an nk 1ak — n -та часткова сума ряду;

Rn

an 1 an 2 ... k n 1ak — n -й залишок числового ряду.

Збіжність числового ряду.

Якщо не існує скінченної границі

Числовий ряд називають збіжним,

послідовності {Sn}, то ряд називають

якщо послідовність часткових сум

розбіжним.

{Sn} збігається до деякого числа S,

яке називають сумою ряду, і пишуть

S an

lim Sn.

n 1

n

Ознаки збіжності рядів.

Властивості збіжних рядів.

Необхідна умова збіжності ряду.

Якщо ряд n 1an

збігається до

Якщо ряд n 1an

збігається, то

суми S, то ряд

ca , де c ,

lim a 0.

n 1

n

n n

збігається до суми cS.

Достатня ознака розбіжності ряду.

Якщо ряди n 1 an та n 1 bn

Якщо lim a

n

0,

то ряд

a

n

збігаються до сум S

та S , то ряди

n

n 1

розбігається.

1

2

Критерій збіжності ряду. Ряд

n 1 (an bn ) збігаються до сум

S1 S2.

n 1an збіжний тоді й лише тоді,

коли збіжний довільний його залишок.

Переставляння, відкидання або

приєднання скінченної кількості

членів ряду не впливає на його

збіжність (розбіжність).

8

Розділ 12. РЯДИ

12.2. Ряди з додатними членами

Перша ознака порівняння (у формі

Друга ознака порівняння

нерівності). Якщо задано два ряди

(гранична). Якщо задано два ряди

n 1 an, n 1 bn з невід’ємними

n 1an, n 1bn з додатними членами

членами і для всіх n виконано

і існує скінченна, відмінна від нуля,

нерівність 0 an bn, то:

lim

an

, то ряди n 1an та n 1bn

випливає

n bn

1) зі збіжності ряду n 1 bn

одночасно збігаються або одночасно

збіжність ряду n 1 an;

розбігаються.

геометричний ряд

n 1

збіжний,

q

1,

aq

q

1

розбіжний,

n 1

гармонічний ряд

n1 розбіжний

n 1

ряд Діріхле

1

збіжний,

1,

(узагальнений гармонічний)

n 1 n

розбіжний,

1

Д’Аламберова ознака. Якщо для

Радикальна ознака Коші. Якщо для

ряду n 1an

з додатними членами

ряду n 1an

з додатними членами

an 1

існує lim

L, то:

існує lim

L, то:

n a

n

n

an

n

1) для L 1 ряд збігається;

1) для L 1 ряд збігається;

2) для L 1 ряд розбігається;

2) для L 1 ряд розбігається ;

3) для L 1 ряд потребує

3) для L 1 ряд потребує

додаткового дослідження.

додаткового дослідження .

Розділ 12. РЯДИ

9

Інтегральна ознака Коші. Нехай

члени ряду n 1an мають вигляд

Тоді ряд n 1an збігається

(розбігається) тоді й лише тоді, коли

an f(n), починаючи з n k ,

збігається (розбігається) інтеграл

де f (x) — неперервна невід’ємна

f (x)dx.

спадна функція на проміжку [k; ).

k

12.3. Знакозмінні ряди і ряди з комплексними членами

Знакозмінний ряд. Числовий ряд,

Знакопочережний ряд. Числовий ряд,

який містить нескінченну кількість

знаки членів якого строго чергуються,

додатних і нескінченну кількість

називають знакопочережним.

від’ємних членів, називають

знакозмінним.

Абсолютна та умовна збіжність

Достатня ознака збіжності

знакозмінного ряду.

ряду. Ряд n 1an називають

абсолютно збіжним, якщо збігається

an

,

Якщо збігається ряд n 1

an

та умовно збіжним,

утворений з модулів членів

ряд n 1

якщо ряд n 1an збігається, проте

знакозмінного ряду n 1an, то

an

збігається і ряд n 1an.

ряд n 1

розбігається .

Лейбніцова ознака. Нехай задано

Властивості знакозмінних рядів.

n 1

Абсолютно збіжні ряди з сумами S1

знакопочережний ряд n 1

( 1)

an,

де an 0,

(n ). Якщо:

та S2 можна додавати (віднімати),

1) a

n

a

n

, n ;

дістаючи ряд із сумою S1 S2

(S1 S2).

1

2) lim an

0,

Теорема Діріхле. Абсолютно

збіжний ряд за будь-якого

n

то цей ряд збігається. Сума його не

переставлення його членів

перевищує першого члена (S a1) і

залишається абсолютно збіжним, і

Rn

an 1 n .

його сума не змінюється.

Теорема Рімана. Переставленням

членів умовно збіжного ряду можна

одержати ряд з будь-якою заданою

сумою або розбіжний ряд.

додатних рядів для ряду

a

.

n 1

n

10

Розділ 12. РЯДИ

Схема дослідження

n 1an

знакопочережного ряду

знакопочережний

на збіжність.

Досліджують ряд n 1an на

a

a

абсолютну збіжність, вивчаючи ряд

n 1

n 1

n

n

розбігається

збігається

n 1

an

.

Якщо ряд n 1

an

збігається, то

висновують: ряд n 1an збігається

n 1an

n 1an

розбігається за

збігається за

достатньою озн. розб.

Лейбніцевою озн.

абсолютно. Якщо ряд n 1

an

розбігається, то застосовують до ряду

n 1an

n 1an

n 1an

n 1an Лейбніцову ознаку або

розбігається

збігається

збігається

достатню ознаку розбіжності.

умовно

абсолютно

Якщо ряд

a

збігається, то

n 1an

n 1

n

потребує додаткового

дослідження, якщо

висновують: ряд n 1an збігається

an 0 немонотонно.

умовно. Інакше — ряд n 1an

розбігається.

Ряд з комплексними членами.

збігається до числа

Рядом з комплексними членами

Ряд n 1 zn

S X iY тоді й лише тоді, коли

називають числовий ряд вигляду

ряди n 1 xn, n 1 yn збігаються

zn

(xn iyn )

відповідно до чисел X та Y .

n 1

n 1

Якщо ряд, утворений з модулів членів

xn

i yn,

zn

збігається, то

ряду n 1

n 1

n 1

збігається, причому абсолютно, і ряд

деxn,yn ,i2 1.

n 1 zn .