3 Відшукання мінімуму лінійної функції

При визначенні мінімуму лінійної функції Z можливі два шляхи:

1. Відшукати максимум функції F, вважаючи F=-Z і враховуючи, що Zmin=-Fmax;

2. Модифікувати симплексний метод: на кожному кроці зменшувати лінійну функцію за рахунок тої неосновної змінної, яка входить у вираз лінійної функції з від'ємним коефіцієнтом.

Розглянемо це на наступному прикладі.

Приклад 3.1. Вирішити симплексним методом задачу

при обмеженнях:

Рішення. Введемо додаткові невід'ємні змінні ізі знаком «мінус», так як нерівності мають вид «≥». Отримаємо систему рівнянь:

Якщо на першому кроці в якості основних взяти додаткові змінні, то отримаємо недопустиме базисне рішення: (0; 0; 0; 0; -2; -3). В даному випадку в якості основних зручно взяти змінні і(це узгоджується з правилом вибору основних змінних, сформульованим у попередньому розділі 2), коефіцієнти приідодатні, тому в якості початкового отримаємо допустиме базисне рішення.

І крок. Основні змінні . Неосновні змінні.

Виразимо основні змінні через неосновні:

–перше базисне рішення, воно допустиме. Виражаємо лінійну функцію через неосновні змінні:

–це значення не є мінімальним, так як функцію Z можна зменшити за рахунок переводу в основні будь-якої зі змінних чи, що мають у виразі дляZ від'ємні коефіцієнти. Так як має більший по абсолютному значенню коефіцієнт, то почнемо з цієї змінної. Для неї найбільш можливе значення:, тобто перше рівняння є вирішальним;стає неосновною змінною,.

ІІ крок. Основні змінні . Неосновні змінні.

Після перетворень отримаємо:

–лінійна функція. При базисному рішенні отримуємо.. Зміннупереводимо в основні, так як у виразі дляZ вона входить з від'ємним коефіцієнтом. Найбільше можливе значення , друге рівняння вирішальне іпереходить в неосновні змінні;.

ІІІ крок. Основні змінні . Неосновні змінні.

Після перетворень отримаємо:

. Базисне рішення оптимальне, так як у виразі дляZ немає неосновних змінних з від'ємним коефіцієнтом. Тому ..

Сформулюємо критерій оптимальності при відшуканні мінімуму лінійної функції: якщо у виразі лінійної функції через неосновні змінні відсутні від'ємні коефіцієнти при неосновних змінних, то рішення оптимальне.

4 Визначення початкового допустимого базисного рішення

В розглянутих вище прикладах оптимальне рішення отримане шляхом послідовного переходу від початкового базисного рішення до наступного, «кращого», і так – до досягнення критерію оптимальності. Проте не завжди на першому ж кроці виходить допустиме базисне рішення. В наступному прикладі розглянемо один із можливих алгоритмів отримання допустимого базисного рішення. Інший, так званий М-метод, буде розглянуто в розд. 7.

Приклад 4.1. Вирішити симплексним методом задачу

при обмеженнях:

Рішення. Вводимо додаткові невід'ємні змінні з відповідними знаками:

У відповідності з правилом сформульованим у розділі 2, на І кроці в якості основних візьмемо додаткові змінні.

І крок. Основні змінні . Неосновні змінні.

Виразимо основні змінні через неосновні:

(2.6)

−перше базисне рішення недопустиме (від'ємна компонента), тому воно не може бути оптимальним. Лінійну функцію на недопустимому рішенні не розглядаємо! В системі (2.6) виберемо те рівняння, яке містить від'ємний вільний член, тобто перше рівняння (якщо таких рівнянь декілька, то обираємо будь-яке з них).

Оскільки змінна приймає від'ємне значення при першому базисному рішенні, то її необхідно збільшити. Це можна зробити за рахунок збільшення будь-якої із неосновних змінних, що входять в перше рівняння з додатним коефіцієнтом, в даному випадку – змінної. Якщо перевести цю змінну в основні, то вона, ставши додатною, збільшить змінну. Як тількидосягне рівня 1, тообернеться в 0, тобто зникне від'ємна компонента в рішенні. Можна вважати, що зміннастане неосновною. Проте зростання змінноїобмежено умовами невід'ємності решти змінних, які визначають, тобто перше рівняння – вирішальне. Призміннаі переходить в неосновні змінні.

ІІ крок. Основні змінні . Неосновні змінні.

Виражаючи нові основні змінні через нові неосновні, починаючи з вирішального рівняння, отримаємо:

І базисне рішення , яке є допустимим. Тому виражаємо через неосновні змінні лінійну функціюі продовжуємо рішення у відповідності з алгоритмом, викладеним у розділі 2.

Проте не завжди перший же крок позбавляє від недопустимого рішення.

Приклад 4.2. Вирішити симплексним методом задачу

при обмеженнях:

Рішення. Після введення додаткових невід'ємних змінних з відповідними знаками отримаємо систему рівнянь:

На І кроці додаткові змінні візьмемо в якості основних, так як вони задовольняють правилу, викладеному в розд.2: входять у всі рівняння і тільки по одному разу.

І крок. Основні змінні . Неосновні змінні.

Виразимо основні змінні через неосновні:

−перше базисне рішення недопустиме (2 від'ємні компоненти).

Для отримання допустимого базисного рішення поступаємо так, як в попередній задачі: обираємо будь-яку рівняння, що містить від'ємний вільний член (перше або четверте), наприклад перше, і в ньому – будь-яку неосновну змінну з додатним коефіцієнтом:або, наприклад. Найбільше можливе значеннядосягається в третьому рівнянні; воно вирішальне, і зміннапереходить в неосновні змінні. Проте при цьому жодна з від'ємних компонент не зникає! Тому невигідно переводити зміннув основні змінні. Переведемо в основні, тоді найбільше можливе значеннядосягається в четвертому рівнянні; при цьому зміннапереходить в неосновні і зникає одна від'ємна компонента в базисному рішенні.

ІІ крок. Основні змінні . Неосновні змінні.

Виразимо нові основні змінні через нові неосновні, починаючи з четвертого рівняння:

−недопустиме базисне рішення з однією від'ємною компонентою. Розглянемо друге рівняння (з від'ємним вільним членом) і переведемо в основні одну з неосновних змінних, або, що входять в рівняння з додатними коефіцієнтами.

Отримаємо з рівнянь їх найбільші можливі значення: досягається в другому рівнянні;також визначає друге рівняння як вирішальне. Будь-який вибір усуне недопустимість рішення, тому байдуже, яку зміннуабообрати. Переведемов основні.

ІІІ крок. Основні змінні . Неосновні змінні.

Виразимо нові основні змінні через нові неосновні, починаючи з другого рівняння:

−допустиме базисне рішення. Виразимо цільову функцію через неосновні змінні . Подальше рішення у відповідності до алгоритму викладеному у розд.2.

Зауваження 1. Якщо базисне рішення недопустиме і для його покращення є можливість вибору змінної, що переводиться в основні, то рекомендується обирати таку неосновну змінну, яка визначить в якості вирішального те рівняння системи, де міститься від'ємний вільний член. Тільки в такому випадку нове базисне рішення буде містити, хоча б, на одну від'ємну компоненту менше. Якщо в якості вирішального буде отримано рівняння, що не містить від'ємного вільного члена, то в новому базисному рішенні число від'ємних компонент не зменшиться.

Зауваження 2. Із задачі 4.2 не слід робити висновок про те, що чим більше від'ємних компонент в початковому базисному рішенні, тим більше потрібно буде кроків, щоб отримати допустиме базисне рішення. Виявляється, що в деяких випадках неможливо отримати допустиме базисне рішення навіть при одній від'ємній компоненті, а іноді його можна отримати за один крок, хоча всі компоненти початкового базисного рішення від'ємні. Подальші приклади пояснять це зауваження.

Приклад 4.3. Вирішити симплексним методом задачу (про складання раціону)

при обмеженнях:

Рішення. Введемо додаткові змінні (кожну зі знаком «мінус»). Їх економічний зміст – це різниця між вмістом і необхідним мінімумом кожної з поживних речовин.

На І кроці беремо додаткові змінні в якості основних.

І крок. Основні змінні. Неосновні змінні.

Після перетворень отримаємо:

−перше базисне рішення недопустиме (3 від'ємні компоненти). Неосновна змінна входить в кожне рівняння з додатним коефіцієнтом, тому є сенс перевести її в основні. У випадку, коли всі основні змінні приймають від'ємні значення, для пришвидшення рішення можна в якості значення для змінноївзяти максимальне оціночне відношення з отриманих у всіх рівняннях:. Третє рівняння є вирішальним, при цьомуі переходить в основні, а інші основні змінні приймають додатні значення.

ІІ крок. Основні змінні. Неосновні змінні.

Після перетворень отримаємо:

−допустиме базисне рішення. Якщо діяти, як в минулих прикладах, то для отримання допустимого базисного рішення необхідно три кроки!

Закінчуючи рішення задачі (4.3) симплексним методом, на наступному кроці отримуємо оптимальне базисне рішення , при якому мінімальні затрати на раціон складають. Враховуючи економічний зміст вихідних і додаткових змінних, отримуємо, що в оптимальному раціоні використовуються 2 одиниці корма І і 3 одиниці корма ІІ, при цьому речовиниіспоживаються в необхідних мінімальних кількостях (), а поживна речовинавиявляється в надлишку на 5 одиниць ().

Отже, для пришвидшення відшукання допустимого базисного рішення, коли всі основні змінні від'ємні, рекомендується обрати, якщо можливо, неосновну змінну, що входить у всі рівняння зі знаком «плюс», і в якості її значення брати не мінімум, а максимум оціночних відношень, отриманих з кожного рівняння.

Приклад 4.4. Вирішити симплексним методом задачу

при обмеженнях:

Рішення. Введемо додаткові змінні:

І крок. Основні змінні. Неосновні змінні.

Після перетворень отримаємо:

−перше базисне рішення недопустиме. В другому рівнянні обираємо будь-яку змінну – або, так як обидві мають додатний знак «плюс», і переводимо в основні. Для:, вирішальне рівняння перше; для:, вирішальне також перше рівняння, тому в будь-якому випадку не вдасться одразу позбавитися від від'ємної компоненти базисного рішення.

ІІ крок. Основні змінні. Неосновні змінні.

Після перетворень отримаємо:

−недопустиме базисне рішення. Проте друге рівняння не містить неосновної змінної з додатним коефіцієнтом, тому неможливо збільшити змінну і отримати допустиме базисне рішення. Задача суперечлива (рис. 4.1).

Рис.4.1 – Область допустимих значень

Після аналізу результатів, отриманих при рішенні задач (2.1, 3.1, 4.1 – 4.4), сформулюємо алгоритм отримання початкового допустимого базисного рішення:

1. Якщо кожна додаткова змінна входить в рівняння з тим самим знаком, що і вільний член, що стоїть в правій частині рівняння, то додаткові змінні можна брати в якості основних на І кроці. При цьому вийде перше допустиме базисне рішення.

2. Якщо перше базисне рішення вийшло недопустимим (наприклад, в якості основних взяті додаткові змінні, але хоча б одна з них входила в рівняння зі знаком, протилежним знаку вільного члена), то розглядаємо рівняння, що містить від'ємний вільний член (будь-яке, якщо їх декілька), і переводимо в основні ту неосновну змінну, яка в це рівняння входить з додатковим коефіцієнтом (будь-яку, якщо їх декілька). Такі кроки повторюємо до тих пір, доки не досягається допустиме базисне рішення.

3. Якщо базисне рішення недопустиме, і в рівнянні, що містить від'ємний вільний член, відсутня неосновна змінна з додатним коефіцієнтом, то в цьому випадку допустиме базисне рішення отримати неможливо, тобто умови задачі суперечливі.