ekzamen_шпора

30.Властивості неперервних функцій на відрізку: теорема Больцано-Коші.

Теорема Больцано- Коші

Якщо f:[a;b] -->R - неперервна на [a;b] і приймає на його кінцях знач. різних знаків, то т.с є (a;b): f(с)=0

Визначення

Ф-ція f:D->R назив. неперервною на D, якщо вона неперервна в хєD

Доведення

f(a)-f(b)<0

Поділимо відрізок () навпіл точкою с=

Якщо f(с)=0 => теорема доведена

Якщо f(с)0 => тоді f(a)*f(с)<0 або f(c)*f(b)<0 => отримуємо відрізок [a;b] такий, що f(a₁),f(b₁)<0 i

З відрізка [a₁;b₁] поступаємо таким же чином: ділимо навпіл і тд

Якщо ні в одній з середин f(с)0 => отримуємо послідовність вкладених відрізків

[a;b]=[a₀;b₀] [a₁;b₁] ... [a_n;b_n]; |[a_n;b_n]|= -->0(n -->+ f(a_n)*f(b_n)<0

З леми про вкладені відрізки існує єдина спільна точка с є [a_n;b_n] n

Позначимо через х^'_n -- ті кінці відрізків, в яких f(х^'_n)<0 і x^''_n --||-- f(x^''_n)>0 =>

х^'_n --> c (n -->+ , x^''_n -->0 (n -->+ , | x^''_n -c|-->0 (n -->+

З неперервності f(x) в т. с

=> f(c)=0

Наслідок

Якщо f(x) -- неперервна на [a;b] , f(a)=A, f(b)=B, ∃q∈(a;b) така, що f(q)=Q

Доведення

Розглянемо g(x) = f(x) - Q -- неперервна на [a;b]

g(a)=f(a)-Q= A-Q

g(b)=f(b)-Q = B-Q i g(a) - g(b)=(A-Q)(B-Q)<0 =>

∃q∈(a;b): g(q)=0 => f(q)-Q => f(q)=Q

31.Властивості неперервних функцій на відрізку: теорема Вейєрштрасса.

Tеорема Вейєрштрасса

Ф-ція неперервна на відрізку [a;b], обмежена цьому відрізку. При цьому на [a;b] є точки х_m , x_M в яких f(x) приймає своє найменше і найбільше знач.

Доведення

1.Обмеженість

∀х∈[a;b] ∃=f(x) => ∃u(x):f(t) -- обмежена в u(x) тобто, ∃ такі m_x i M_x :

m_x≤f(t)≤M_x ∀t∈ u(x) => U_xє[a;b]u(x)⊃[a;b] => за лемою про скінченне підпокриття => можна виділити скінченне підпокриття тобто, існують u (x_і), і = 1,2,..,n, що U^ⁿ_(i=1)u(x_i) ⊃ [a;b], за побудовою ∀i=1...m ; m_i≤f(t) ≤M_i ∀t∈ u(x_i), позначимо через m=min(m₁,m₂,...,m_n); M=max(M₁,M₂,..,M_n). Тоді ∀х∈[a;b] ∃і=1... n, що х∈u(x_i) =>m≤m_i≤f(x) ≤M_i≤M =>

m≤f(x) ≤M ∀х

f(x) -- обмежена на [a;b]

2.

f(x) -- обмежена на [a;b] => ∃S=sup_[a;b]f(x)∈R; I=inf_[a;b]f(x) ∈R

Покажемо, що

∃x_m:f(x_m)=I; ∃x_M:f(x_M)=S;

Від супротивного:

Припустимо, що ∄х_м∈[a;b] такий, що f(x_m)=S => не існує на [a;b] т. х_м в якій S-f(x)=0

Розглянемо ф-цію g(x)= -- неперервна на [a;b] і в 0 не обертається

Значить, вона обмежена на [a;b]. Але за визначенням для ∀ε>0

∃x _ε∈[a;b] : f(x _ε)>S- ε; Тоді g(x_ε)- необмежена на [a;b]

Це суперечить з 1 => припущення хибне

Аналогічно показуємо, що ∃x_m∈[a;b]; f(x_m)= I

32.Рівномірно-неперервні функції. Теорема Кантора.

Рівномірна неперервність ф-ції -- це положення, яке теж відноситься не до точки, а до обл. визначення ф-ції, або деякої її підмножини.

Визначення

f(x) назив. рівномірно неперервною на D, якщо ∀ε>0 ∃δ>0 : |x₁-x₂|< δ ∀x₁,x₂∈D =>

|f(x₁)-f(x₂)|< ε

Якщо, f(x) - рівномірно неперервна на D, то вона неперервна на D.

Теорема Кантора

Ф-ція неперервна на відрізку [a;b] буде рівномірно неперервною на ньому

Доведення

f(x) -- неперервна на цьому відрізку, зафіксуємо довільну ε>0

∀х∈[a;b], f-- неперервна в т. х => ∃δ(x)>0 => ∀t ∈u_δ(x)(x) ; |f(t)-f(x)|<

U_x∈[a;b] u_δ(x)/2(x) ⊃[a;b] => за лемою про скінченне підпокриття =>

∃ скінченне підпокриття, тобто ∃х₁,х₂,...,х_n Uⁿ_(i=1) u_δ(x)/2(x_i) ⊃[a;b]

Позначимо δ = min{}>0

Тоді ∀х₁, х₂ ∈ [a;b] таких, що |x₁-x₂|< δ ∃i : u_δ(x)/2(x_i) =>|x₂ -x_i|= |x₂-x₁+x₁-x_i|≤|x₂-x₁|+

+|x₁-x_i|<+< _i) => x₁,x₂ ∈ u_δ(xi)(x_i)

Тоді |f(x₂)-f(x₁)|= |f(x₂)-f(x_i)|+|f(x_i)-f(x₁)|≤ |f(x₂)-f(x_i)|+|f(x₁)-f(x_i)|< = ε;

33. Диференціал та похідна. Неперервність диференційованої функції.

Ф-ція f: D-->R назив. диференційованой в т. х₀, якщо ∃А ∈ R таке, що в цій точці ∆у=А*∆х+ о(∆х) при ∆х -->0; (f(x)-f(x₀))=A(x-x₀)+ o(x-x₀) при x-->x₀

В цьому випадку вираз А*∆х назив. диференціалом ф-ції f(x) в т. х₀ і позначається :

dy=A *∆x

Диференціалом незалежної змінної х назив. її приріст dx = ∆x=x-x₀

Визначення

Величина = = f'(x₀), якщо існує назив. похідною ф-ції в т х₀

Теорема

Ф-ція у=-- диференц. в т. х₀ <=> ∃ f'(x₀), при чому dy= f'(x₀)dx

Доведення

1)(=>) Дано, f(x) -- диференц. в т. х₀ => ∃А - const, що ∆у=А*∆х + о(∆х) при ∆х--> 0

Тоді f'(x₀) = = = =A

2)(<=) Дано, ∃ f'(x₀)= => = f'(x₀) + α(x) при -->0 => = f'(x₀) + α(x) =

A + о(∆х), де А= f'(x₀) => dy = v)dx

Зв'язок неперервності та диференц. ф-ції. Теорема

Якщо y=f(x) диференц. в т. х₀, то вона неперервна в т х₀

Доведення

f(x)-- диференц. в т. х₀ => ∆f= f(x) -f(x₀)= f'(x₀)(x-x₀) +o(x-x₀)

f(x)= f(x₀)+ f'(x₀)(x-x₀)+ o(x-x₀) => (f(x₀) + A(x-x₀) + o(x-x₀)) = f(x₀)+A(x-x₀)+(o(x-x₀))=

f(x₀)+0+0= f(x₀) => f(x) -- неперервна в т. х₀

Навпаки неправильно. Неперервна в т.х₀ ф-я може не мати похідної в цій точці.

34.Арифметичні властивості похідної, диференціювання добутку та частки. Таблиця похідних.

Нехай ф-ції y₁ = f₁(x); y₂=f₂(x) визначені в u(x₀) i диференц. в т. х₀

Тоді їх сума, добуток, а при f₂(x₀)≠0, і добуток в т. х₀ при чому :

1) (f₁ +f₂)'= f'₁ +f'₂; 2)(f₁*f₂)' =f'₁*f₂ + f₁*f'₂ ; 3)()'= ;

Доведення

1) y= f₁(x) +f₂(x) => ∆y=y(x₀+∆x)-y(x)= f(x₀+∆x)+ f₂(x+∆x)-f₁(x)-f₂(x)= ∆y₁ + ∆y₂

= = + = f'₁(x₀)+ f'₂(x₀) =>

∃y'(x₀)= y'₁(x₀)+ y'₂(x₀);

2)y= f₁(x)f₂(x) => ∆y = f₁(x₀ +∆x)f₂(x₀+∆x)-f(x₀)f₂(x₀)= f₁(x₀ +∆х)(x₀+∆х)-f₁(x₀)f₂(x₀+∆x)+f₁(x₀)f₂(x₀+∆x) -f₁(x₀)f₂(x₀)= ∆y₁ *f₂(x₀+∆x)+ ∆y₂f₁(x₀) =>

= = += *(f₂(x₀+∆x))+f₁(x)()= f'₁(x)*f₂(x) + f₁(x)*f'₂(x)

3) y=

∆y = - = =

(= ()*f₁(x₀) = = ;

Табл. похідних

1) f(x)=C -const; => ∀x ∆y=C -C=0 => y'=(=(=0

2)f(x)=xⁿ, n∈N -- за ф-лою бінома Ньютона маємо: ∆y=f(x+∆x)-f(x)= (x+∆x)ⁿ-x^{n =}xⁿ+C¹_nx^n-1∆x +C²_nx^n-2∆x²+...+∆x²-xⁿ = nx^n-1∆x+(C²_nx^n-2∆x +...+∆x^n-1) ∆x ∀x∈R

(=(nx^n-1+ C²_nx^n-2∆x +...+∆x^n-1)= nx^n-1

3)y=sin x ∀x∈R

=sin(x+)-sin(x)=2sin()*cos(x+)

(=()=(* cos(x+)=cos x

4)Аналогічно (cos x)' = -sin x

5)f(x)=a^x =>=a^(x+∆x)-a^x = a^x(a^∆x -1)

(=()=a^x()=a^xln a

35. Диференціювання складних функцій та функцій, заданих параметрично. Таблиця похідних.

Нехай ф-ція y=g(x) має похідну в т. х₀, а ф-ція z=f(y) має похідну в т. х₀ , y₀=g(x₀)

Тоді складена ф-ція F(x)=f(g(x))=(f °g)(x) теж має похідну в т. х₀ при чому

F'_x(x₀)=f_y(y₀)g_x(x₀)

Доведення

z=f(y) - диференц. в т. у₀

z=f_y(y₀) +o(z)=f_y'(y₀)+α(y) (при 0)

{y=g(x); =g_x'(x₀)+o()} ; f_y'(y₀)g_x(x₀)+f_y'(y₀)

36.Похідна складеної функції. Інваріантність форми першого диференціалу

Нехай функція y=g(x) має похідну в т х0, а функція z=f(y) має похідну в точці у0= g(x0). Тоді складена функція F(x)=f(g(x))=(f○g)(x) теж має похідну в т. х0, причому

доведення

z=f(y) – диференційована в т. у0 =>

Наслідок (Інваріантність форми першого диференціала)

- диференціал фун-ії дорівнює добутку пох. ф-ії по змінній на диференціал цієй змінної, незалежно від того, яка ця змінна: незал, чи ф-яякоїсь змінної

доведення

37. Диференціювання неявної та оберненої функцій

Похідна оберненої функції

Нехай функція у=у(х) – неперервна, строго монотонна в околі точки х0 і диференційована в т.х0, при чому y’(x0)!=0. Тоді обернена функція х = х(у) має похідну в точці у0=у(х0), причому

доведення

у=у(х) – строго монотонна в околі т.х0 => існує обернена до неї х = х(у) тогож характеру монотон-і. у(х) – неперервна в т. х0 => x=x(y) – неперервна в т у0 і в цих точках ∆x0∆y0

Похідна неявно заданої функції

Якщо ф-я у=у(х) в околі точки (х0;у0) визнач рівнянням F(x;y)=0, то похідну можна знайти використовуючи теорему про похідну складеної функції без розв’язку рівняння F(x;y)=0 продифференціював по х тотожність F(x;y)=0

38. Похідні та диференціали вищих порядків . Формула Лейбніца

Похідні вищих порядків

Нехай f: DR

Якщо f – диференційована в кожній точці D, то на D визначена функція : DR. Якщо ця ф-я диференційована в т х0 є D, то її похідна по відношенню до функції f називається другою похідною і позначається

Загалом, похідною н-ого порядку ф-ії f називається похідна в т. х0. Позначення:. Похідна нульового порядку – сама функція f.

Приклади:

1) 2) => ;

3);

Формула Лейбніца

Відомо:

Узагальнення: формула Лейбніца

Доведення за ММІ: 1) n=1 =>

2) припустимо, що для n формула має місце, тоді для n+1 маємо

(з другої суми беремо перший доданок, а з першої суми останній)=

Диференціали вищих порядків

Якщо - диференційована ф-ія змінної х, то диференціал цієй функції називається другим диференціалом функції y = y(x) і позначається:

Диференціалн-ого порядку за індукцією:

Властивості

39.Теорема Ферма. Теорема Ролля.

Якщо функція диференційована в точці внутрішнього екстремума x ∈ D то f’(x) = 0.

Доведення f(x) – диференційована в точці x₀ ⇒ Δf = f(x) – f(x₀) = f’(x₀)* Δx + o(Δx), при Δx → 0. Тоді f(x) – f(x₀) = (f’(x₀) + α(Δx))*Δx, x = x₀ + Δx. Припустимо, що f’(x) ≠ 0. lim α(Δx) = 0 ⇒ ε = > 0, існує б > 0 : ∀ |Δx| < б ⇒ |α(Δx)| < ε , тоді для всіх |Δx| < б sign (f’(x₀) + α(Δx)) = sign f’(x₀) і (f’(x₀) + α(Δx))*Δx змінює знак разом зі зміною знака Δx. Разом з цим добутком міняє знак і різниця f(x) – f(x₀), що не можливо якщо точка x₀ це точка екстремума ⇒ припущення хибне, отже f’(x₀) = 0

Теорема Ролля Якщо f:[a;b] → R неперервна на [a;b] диференційована на (a;b) і f(a) = f(b) то існує c ∈ (a;b) Доведення Оскільки функція f(x) неперервна на проміжку [a;b] то, згідно з другою теоремою Вейєрштрасса, ця функція досягає на ньому свого максимального значення M та мінімального значення m. Отже, маємо два випадки: M = m або M > m .В першому випадку f(x) = M = m = const. Тому похідна f’(x) дорівнює нулю в будь-якій точці проміжка [a;b] У випадку, коли M > m, оскільки f(a) = f(b), можна стверджувати, що хоча б одне з двох значень M чи m досягається функцією в деякій внутрішній точці c проміжка [a;b]. Але тоді функція f(x) має у точці c локальний екстремум. Оскільки функція f(x) диференційовна в точці c, то за необхідною умовою локального екстремуму, f’(x) = 0.

40. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа

Якщо f:[a;b] → R неперервна на [a;b] диференційована на (a;b) і f(a) = f(b) то існує c ∈ (a;b) Доведення Оскільки функція f(x) неперервна на проміжку [a;b] то, згідно з другою теоремою Вейєрштрасса, ця функція досягає на ньому свого максимального значення M та мінімального значення m. Отже, маємо два випадки: M = m або M > m .В першому випадку f(x) = M = m = const. Тому похідна f’(x) дорівнює нулю в будь-якій точці проміжка [a;b] У випадку, коли M > m, оскільки f(a) = f(b), можна стверджувати, що хоча б одне з двох значень M чи m досягається функцією в деякій внутрішній точці c проміжка [a;b]. Але тоді функція f(x) має у точці c локальний екстремум. Оскільки функція f(x) диференційовна в точці c, то за необхідною умовою локального екстремуму, f’(x) = 0.

Теорема Лагранжа Якщо f:[a;b] → R неперервна на [a;b] диференційована на (a;b) то існує c ∈ (a;b): f(b) – f(a) = f’(c)*(b-a) Доведення Розглянемо на проміжку [a,b] наступну допоміжну функцію: Перевіримо, що для функції F(x) виконані всі умови теореми Ролля. І справді, F(x) неперервна на проміжку [a;b] (як різниця функції f(x) та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжка [a;b] має похідну:. З формули (1) очевидно, що F(a) = F(b) = 0.

Згідно з теоремою Ролля на проміжку (a;b) знайдеться точка c така, що

З рівності (2) витікає формула Лагранжа.

41. Теорема Лагранжа. Наслідки з теореми Лагранжа Якщо f:[a;b] → R неперервна на [a;b] диференційована на (a;b) то існує c ∈ (a;b): f(b) – f(a) = f’(c)*(b-a)

Доведення Розглянемо на проміжку [a,b] наступну допоміжну функцію: Перевіримо, що для функції F(x) виконані всі умови теореми Ролля. І справді, F(x) неперервна на проміжку [a;b] (як різниця функції f(x) та лінійної функції) та в усіх внутрішніх точках проміжка [a;b] має похідну:. З формули (1) очевидно, що F(a) = F(b) = 0.

Згідно з теоремою Ролля на проміжку (a;b) знайдеться точка c така, що

З рівності (2) витікає формула Лагранжа.

Наслідки з теореми Лагранжа 1. Якщо в кожній точці інтервалу (a;b) виконується умова f’(x) = 0, то функція є сталою на цьому інтервалі. 2. Якщо в кожній точці інтервалу (a;b) виконується умова f’(x) = g’(x), то функція f(x) і g(x) на (a;b) відрізняються на сталу величину.

42. Наслідки з теореми Лагранжа. Теорема Коші

Наслідок 1(про монотонну функцію) Якщо в усіх точка (a;b) похідна f’(x) функції невідємна (додатна), то f(x) – не спадна (зростаюча) на [a;b] Доведеня Нехай виконані умови теореми Лагранжа Аналогічно отримуєм, якщо f’(x) < 0 , то f(x) – не зростаюча (спадна)

Доведення

Теорема Коші Нехай f(x); g(x) є С([a;b]) диференц. на (a;b) при чому g’(x) не дорівнює 0. Тоді Доведення Розглянемо допоміжну функцію

=>

43 - 44. Правило Лапіталя

Нехай f(x) і g(x) визначені на [a;b] і такі що: f(a) = g(a) = 0; ∃ f’(a); g’(a). Тоді існує

Доведення для

f(x) i g(x) – диференційовані в т. a ⇒

Тоді

Доведення для

45. Формула Тейлора

– довільний многочлен n-го порядку. Запишемо у вигляді: Щоб знайти С, підставимо замість x = x₀ Методом математичної індукції , k = 0,1…n; + Якщо або тільки в т. х₀, то їй відповідає многочлен Цей многочлен називається многочленом тейлора функції f(x) в т. х₀ і пов'язаний з функцією f(x) тим, що його значення і значення всіх його похідних до порядоку n в т. х₀ співпадають зі значенням функції та її похідних в цій точці. Якщо позначити через то називається формулою Тейлора