ekzamen_шпора

1. Відображення множин. Поняття образу та прообразу. Композиція відображень.

Нехай Х,У деякі множини

Озн:Відображенням множини Х в множину У назив. правило f за яким кожному елементу множини Х ставиться у відповідність єдиний елемент У:

F:xy

Озн:Якщо Х,У – числові множини, то це функція.

Озн:Якщо для а є А і b є B при відображенні f:А->B має місце b=f(а), то елемент b називається образом елемента а. Елемент а – прообраз b.

Види відображень:інєкція,сурєкція,бієкція.

Якщо f:Х—>У,g:Y—>Z то можна побудувати композицію цих відображ. gf:Х—Z, що будується за правилом і для кожного елемента х з множини Х - (gf)(х)=g(f(х))

Складена функція: властивості

Навіть якщо визначені обидві композиції fg і gf, то не значить, що fg=gf

Асоціативність має місце, тобто якщо f:Х—Y, g:Y—Z, х:Z—B, то х(gf)=(хg)f,оскільки для будь якого х з Х (х (gf)(х)=х((gf)(х))=х(g(f(х)))

2. Аксіоматичне визначення множини дійсних чисел.

Озн:Множина R назив множиною дійсних чисел а її елементи дійсними числами, якщо виконані наступні аксіоми:

a,b є R: , a+b=b+a , a+(b+c)=(a+b)+c , a+0=a , a+(-a)=0

a*b=b*a , a*(b*c)=(a*b)*c , a*1=a , a*a^-1=1 , a*(b+c)=ab+ac

1!=0 . a<=a , a<=b and b<=a a=b , a<=b and b<=c a<=c

a<=b or b<=a , a<=b a+c<=b+c , 0<=a and 0<=b 0<=a*b

3.Індуктивні множини. Метод математичної індукції.

Озн:Індуктивна множина- числова множина А назив. індуктивною,якшо для

Приклад: R,Q;

Т: якщо А та В – індукт множини то С=А перетин В теж індукт;

Озн:Множина натур. Чисел назив. Перетин всіх індуктивних числових множин, що містять число 1.

ММІ:

Якщо деяке твердження дельта справедливе для n=1

З припущення, що воно справедливе для n=k випливає його справедливість для n=k+1

Випливає, шо твердження справедливе для всіх натуральних чисел.

4. Полярна система координат.

Озн:Полярна система координат — двовимірна система координат, в якій кожна точка на площині визначається двома числами — кутом та відстанню. Полярна система координат особливо корисна у випадках, коли відношення між точками найпростіше зобразити у вигляді відстаней та кутів; в поширенішій, Декартовій, або прямокутній системі координат, такі відношення можна встановити лише шляхом застосування тригонометричних рівнянь.

Полярна система координат задається променем, який називають нульовим або полярною віссю. Точка, з якої виходить цей промінь називається початком координат або полюсом. Будь-яка інша точка на площині визначається двома полярними координатами: радіальною та кутовою. Радіальна координата (зазвичай позначається r) відповідає відстані від точки до початку координат. Кутова координата, що також зветься полярним кутом або азимутом і позначається φ, дорівнює куту, на який потрібно повернути проти годинникової стрілки полярну вісь для того, щоб потрапити в цю точку. Визначена таким чином радіальна координата може приймати значення від нуля до нескінченості, а кутова координата змінюється в межах від 0° до 360°. Однак, для зручності область значень полярної координати можна розширити за межі повного кута, а також дозволити їй приймати від'ємні значення, що відповідатиме повороту полярної осі за годинниковою стрілкою. Пару полярних координат r та φ можна перевести в Декартові координати x та y шляхом застосування тригонометричних фукнцій синуса та косинуса:

x = r cos φ , x = r sin φ

в той час як дві Декартові координати x та y можуть бути переведені в полярну координату r:

r² = x² + y² (за теоремою Піфагора). Для визначення кутової координати φ, слід взяти до уваги два такі міркування: Для r = 0, φ може бути довільним дійсним числом. Для r ≠ 0, аби отримати унікальне значення φ, слід обмежитись інтервалом в 2π. Зазвичай, обирають інтервал [0, 2π) або (−π, π].

5. Комплексні числа, різні форми запису, арифметичні операції з комплексними числами

Озн:Вираз виду x+iy, де x,y – дійсні числа, а i – символ для якого i² =-1 назив. комплексним числом.

Х-ReZдійсні числа компл. Числа Z

Y=ImZ уявна частина компл. Числа Z

Арифметичні дії виконуються аналогічно до дій з многочленами, але з урахуванням рівності . Нехай Z1=a+bi, Z2=c+di

Z1+Z2=(a+c)+i(b+d);

Z1*Z2=(a+bi)(c+di)

Z1/Z2=a+bi/c+di=(a+bi)(c-di)/(c+di)(c-di)

Z1-Z2=a+bi-c-di

Дійсні числа – це комплексні, де уявна частина = 0.

Озн:Два компл числа назив. однаковими якщо уявні і дійсні частини однакові.

Компл. Число може бути представлене у тригоном формі:

Або у формі Ейлера:

==> Z=r

6.Тригонометрична форма комплексного числа. Формулa Муавра, корені з комплексних чисел.

Щоб представити число у тригоном формі, досить записати модуль і помножити його таким чином:

Маємо

Добуток та частка компл. Чисел в тригоном. Формі:

Доводиться просто за формулами тригоном. Суми. Розкриваючи дужки:

аналогічно для формули Ейлера:

Формула Муавра:

)=

Озн: Корінь з компл. Числа: Число W назив. Коренем н-порядку з компл. Числа Z, якщо Нехай W=|w|( ) )=Z=r() =>k=0,1,2…n-1;

Отже:

7.Обмежені множини. Точна верхня та нижня межі.

Озн: Множина А назив. Обмеженою зверху, якщо bR, що а<=b дляA. b – верхня межа. І обмеженою знизу якщо с R, таке що а>=с для A. Озн: Якщо множина обмежена зверху і знизу, вона назив. Обмеженою

Озн: Нехай А (не пуста) обмежена зверху, тоді найменша з її верхніх меж назив. точною верхньою межею і позначається supA.

Озн: Якщо А обмежена знизу, тоді найбільша з її верхнуї меж назив. точною нижньою межою і позначається infA.

Для необмежених зверху і знизу множин інфінум і супремум дорівнюють +-нескінченність.

Т: Всяка обмежена зверху множина має супремум А, знизу – інфінум.Нехай А – обмежена зверху. Множина B всіх її верхніх меж теж непуста, при чому для будь якого bR і А а<=b, тоді за аксіомою №5 існує число сR a<=c<=b.

З визначення супремемуму:

Якщо S=supA, то:

1) A <S

2) a*>S1

8.Лема про вкладені відрізки (принцип Коші-Кантора).

Озн: Функція, що відображає множину натуральних чисел в множину Х, назив. послідовністю елементів множини Х.

Озн: формула за якою, за номером можна обчислити його значення називається загальним членом послідовності.

Озн: Вкладена множина: нехай х1,х2,х3…хN – послідовність деяких множин, для яких має місце , тоді це вкладена множина.

Принцип Коші-Кантора: Для кожної послідовності вкладених відрізків існує спільна точка С. Якщо крім цього в послідовності для і , то така точка єдина.

позначимо відрізок =[]

<=

З умови випливає що для будь якого m,n N

<=

Від супротивного:

Припустимо>= Тоді:

<=<=<=

Тобто не мають спільних точок, що суперечить умові.

Існування спільної точки показуємо за аксіомою повноти.

Єдиність:

припустимо що таких точок дві. Вони не рівні між собою.

Нехай для визначеності c1<c2

Тоді для всіх номерів н: aN<=c1<c2<=bn=>aN-bN=c2-c1

Маємо протиріччя.

9.Принцип Бореля-Лебега (про скінченне підпокриття).

Озн: Нехай А – деяка множина елементів а. Нехай кожному елементу а відповідає деяка множина Ха. Кажуть, що множина множин Ха покриває множину B, якщо

Озн:Якщо деяка множина Ха повністю покриває B, то це підпокриття множини B

Лема Бореля-Лебега: в усякій системі інтервалів S={I}, що покривають відрізок I=[a;b] можна виділити скінчене підпокриття.

Від супротивного припустимо, що є система інтервалів, де не можна виділити скінчене підпокриття

позначимо I1=[a;b]

поділимо навпіл цей интервал. Тоді хоча б для однієї з половинок теж не можна виділити скінченого підпокриття. Позначимо половинку I2 і знову поділимо навпіл. Ділимо так Н разів. Отримуємо: I1 підмнож I2 підмнож I3 підмнож … In. Отримали послідовність вкладених відрізків для кожного з яких не можна виділити скінченого під покриття.

При чому довжина In=b-a/ – нескінченно мала. Тоді за принципом Коші кантора існує точка с спільна с є . Значить

Позначимо E={c-a;b>0;

В множині {In} *:|In|<E

c є In* => In* є

Маємо протиріччя.

10. Принцип Больцано–Вейєрштраса (про граничну точку).

Озн: точка а є R назив. Граничною точкою множини ХєR, якщо будь який окіл точки а містить нескінченну множину точок Х.

Принцип: Всяка нескінченна обмежена множина має хоча б одну граничну точку.

Нехай ХєR – нескінченна і обмежена.

Існує відрізок І=[a;b]Х

Припустимо що Х не має граничних точок. Це значить що для будь якої точки х з відрізка І існує окіл що містить скінчене число точок множини Х. Обєднання всіх околів кожної точки Х містить в собі відрізок І(покриває). Цей відрізок є підмножиною обєднання околів.

З покриття U(x) можна виділити скінчене під покриття тобто, і обєднання цих околів теж покривають відрізок І. Але кожний окіл містить тільки скінчену кілкість точок Х. Виходить шо Х має скінчене число точок, що суперечить умові.

11.Границя числової послідовності. Обмеженість збіжної послідовності, єдиність границі.

Озн:Число а назив. границею числової послідовності Хn (познач a=limXn) якщо для будь якого околу точки а існує номер такий що для всіх n>=>Xn є U(a)

Озн:Або для будь якого Е>0 знайдеться номер… такий що для всіх номерів більших виконується: |Xn-a|<E.

Озн: Якщо існує границя то кажуть, що послідовність збіжна.

Т: Збіжна послідовність обмежена

Тоді |<max{|a-1|;|a+1|};

Т: збіжна послідовність не може мати дві різні границі.

->Від супротивного

Припустимо

Тоді для E=|a1-a2|/3

Окіли цих точок не перетинаються

Але за означенням для а1 існує номер Н1, що для всіх номерів більших за цей Хn лежить в околі точки а1. Аналогічно для а2. Виходить що Хn лежить в перетині околів цих точок… Але він пустий, маємо протиріччя

12.Нескінченно малі послідовності. Арифметичні властивості нескінченно малих.

Озн: послідовність назив. Нескінчено малою якщо існує границя і вона рівна 0.

Властивості:

1)Сума нескінчено малих є нескінчено мала

Дано: limAn=limBn=0

Тоді за означ. Для будь якого Е>0 існує номер Н1, що для всіх номерів більших за Н1

|An-0|<E/2

Тоді за означ. Для будь якого Е>0 існує номер Н2, що для всіх номерів більших за Н2

|Bn-0|<E/2

Тоді для всіх номерів більших за максимальний з Н1 та Н2:

|An+Bn|<=|An|+|Bn|<E/2+E/2=E

Lim(An+Bn)=0

2)Добуток нескінч. Малої на обмежену – неск. Мала

Нехай An-неск. Мала, Bn- обмежена

За озн. – Для Е>0 існує номер Н1,що для всіх номерів більших за Н1 |An-0|<E/M

Тоді добуток для всіх номерів більших за Н1 |An*Bn-0|<E/M*M=E;

Наслідки:

1)сума скінченого числа нескінчено малих – нескінченно мала.

2)добуток неск. Малої на число – неск. Мала.

3)якщо

13.Границя числової послідовності. Арифметичні властивості границі.

1)Якщо

Записати означення для а без модуля, та з модулем |An|=An |a|=a, ||An|-|a||=|An-a|

2)якщо існує limAn=a,limBn=b, то існує lim(An+Bn)=a+b

За лемою кожну послідовність можна представити у вигляді сумми з неск. Малою:

Існуть такі і , що An=a+, Bn=b+

Тоді An+Bn=+a+b Тоді існує границя limAn+Bn=limAn+limBn;

3)lim(An*Bn)=limAn*limBn=a*b;

4)lim(An/Bn)=limAn/limBn=a/b, b!=0