1. Математическое описание сау

Для определения свойств СУ на этапах проектирования используются различные методы моделирования систем в различных условиях функционирования.

Наиболее полное описание системы позволяют получить математические методы, освоенные на использовании дифференциального исчисления. Система описывается системой диф. уравнений n-го порядка или одним уравнениемmпорядка:

a_ny⁽ⁿ⁾+a_n-1y^(n-1)+…+a₁y¹+a₀y=b_mx^(m)+b_m-1x^(m-1)+b₁x¹+b₀x

где

n– порядок системы управления;

y– выход системы;

x– вход системы.

Использование дифференциального способа отличается большой громоздкостью, низкой наглядностью и определёнными вычислениями ресурсов.

Наиболее применимо операционное исчисление, переходящее от дифференциального к операторной форме записи. В этом случае сохраняются возможности анализа диф. уравнений.

y(t)=y_св(t)+y_в(t)

где

y_св(t) – свободная составляющая;

y_в(t) – вынужденная составляющая.

Свободная – это результат решения основного уравнения, которое характеризует свойство системы обусловленной исключать её параметрам (коэф. уравнения).

Вынужденная составляющая определяется типом применяемого входного воздействия и характеризует поведение системы при заданном воздействии в установленном времени.

2. Критерий устойчивости Гурвица

Формулировка критерия: система автоматического регули­рования устойчива, если все коэффи­циенты однородного дифференциального уравнения замкнутой системы имеют оди­наковый знак, а все определители Гур­вица больше нуля.

Пусть характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид:

.

Для коэффициентов уравнения составляют квадратную матрицу, содержащую n строк и m столбцов.

Определители Гурвица составляют по следующему правилу (в соответствии с пунктирными линиями):

;

;

.

Последний (n-ый) определитель включает всю матрицу (2), но он может быть выражен через предпоследний определитель Гурвица (_n-1):

.

БИЛЕТ №4

1. Преобразование Лапласа, передаточные функции

Одним из эффективных средств анализа динамических систем является использование преобразований Лапласа, где временные зависимости параметров представляют в комплексной плоскости от параметра p:

x(t)→X(p)

p=α+iβ

Для выполнения преобразований параметра:

X(p)=- прямое преобразование Лапласа функции x(t),

где

х(t) – оригинал;

Х(р) – изображение функции по Лапласу.

Х(р)=L[x(t)] X(p) »x(t)

Восстановление оригинала по его изображению называется обратным преобразованием Лапласа:

Для типовых функций существуют таблицы прямых и обратных преобразований Лапласа. В частности преобразования n степени от t:

L[x⁽ⁿ⁾(t)]=pⁿx(p)

L[x(t)dt]=1/pX(p)

Приведённые зависимости показывают, что преобразования Лапласа – есть линейные преобразования.

L[c-x(t)]=cX(p)

L[]=

Единичная функция: L[1(t)]=1/p

L[1/ωe^-αtsinωt]=.

Отношение преобразований Лапласа выходной величины к входной – передаточное отношение системы (звена)

Если известны передаточные функции системы, то можно определить выходной параметр системы:

Y(p)=W(p)*X(p)

Y(t)=L^-1[W(p)*X(p)].