1. Построение областей устойчивости сау

Для упрощения выделения границ области устойчивости из всего комплекса кривых D-разбиения на плоскости двух параметров вводится штриховка этих кривых, производимая по следующему правилу:

Перемещаясь вдоль кривой в сторону увеличения ω, надо штриховать её с левой стороны, если будет положительным определитель, составленный из частных производных:

Если же определитель отрицателен, то кривую надо штриховать справа. При соблюдении этого правила штриховка будет направлена внутрь области устойчивости, если параметр А отложен по оси абсцисс вправо, а параметр В – по оси ординат вверх.

2. Линеаризация сау

В основе линеаризации нелинейных уравнений лежит предположение о том, что в исследуемом динамическом процессе переменные изменяются так, что их отклонения от установившихся значений остаются всё время достаточно малыми.

Первый способ линеаризации. Цель – получение линейного дифференциального уравнения взамен прежнего нелинейного. Полученного уравнение называется дифференциальным уравнением звена в отклонениях. Отличие этого уравнения от прежнего состоит в следующем:

- это уравнение является приближённым, так как в процессе его вывода были отброшены малые высшего порядка;

- неизвестными функциями времени в этом уравнении являются не прежние полные величины, а их отклонения ∆ от некоторых установившихся значений;

- полученное уравнение является линейным относительно отклонений.

Второй способ линеаризации. Этот способ заключается в том, что с самого начала все криволинейные зависимости, используемые при составлении уравнений звеньев, заменяются прямолинейными (по касательной в соответствии точке кривой). Тогда уравнения звеньев сразу будут получаться линейными.

БИЛЕТ №23

1. Качество процессов регулирования в сау

Известны алгебраические приемы, позволяющие сравнительно просто с достаточной точностью построить вещественную частотную характеристику (ВЧХ) замкнутой системы. Для этого используется передаточная функция замкнутой системы:

Ее частотная характеристика имеет следующий вид:

(дейст. мнимая)

После соответствующих преобразований, выделив действительную часть, получим выражение для вещественной частотной характеристики (ВЧХ) замкнутой системы Р(ω).

Она позволяет оценить качество системы по характеристикам переходного процесса.

С ее помощью осуществляется оценка показателей качества переходного процесса: перерегулирования и длительности переходного процесса:

.

Помимо этих показателей используются ещё и:

- I₁=(интегральный). Этот показатель целесообразно использовать при реакции системы на дельта-функцию.

- I₂= (квадратичный интегральный критерий).

- Р₁=(степень устойчивости).

- m=(степень колебательности).

- М=(показатель колебательности).

Важными косвенными показателями качества регулирования являются запас устойчивости и запас по фазе.

2. Принципы Ляпунова для оценки устойчивости реальных сау

Для определения устойчивости нелинейных систем любого порядка Ляпунов предложил расширить принципы Дирихле на этот класс системы.

Необходимо на функцию Ляпунова наложить ряд ограничений, отражающих энергетический подход. Функция Ляпунова должна быть однозначной, дифференциальной и существовать положительно во всех точках фазового пространства, кроме точки равновесия, в которой функция обращается в ноль. В этом случае метод Ляпунова заключается в следующем:

если для нелинейной системы удаётся подобрать такую функцию Ляпунова, для которой при любом движении системы функция убывает, то есть dV/dt <0, то такая система устойчива не только 2в малом», но и в «большом».

Основная проблема анализа устойчивости заключается в поиске соответствующих функций Ляпунова. Ляпунов предложил:

1. Нелинейная система заменяется линейной.

2. Для линейной известным методом в квадратичных формах ищется функция Ляпунова.

3. Определяются параметры функции Ляпунова, удовлетворяющие условию: dV/dt<0.

4. Анализируется поведение функции Ляпунова при отклонении соответствующих параметров нелинейных характеристик системы в пределах заданного диапазона.

5. Если при этих отклонениях системы функция Ляпунова перестаёт удовлетворять условию, то система является неустойчивой, по крайней мере, «в большом».

БИЛЕТ №24