4. Алгебраїчні структури

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. З’ясувати, чи є алгебраїчними операціями додавання та скалярний добуток двох векторів, заданих на множині векторів площини.

Розв’язання. Додавання двох векторів площини є бінарною операцією, оскільки для довільних векторів можна однозначно побудувати вектор. Скалярний добуток двох векторів площини не є бінарною операцією в множині, бо скалярний добуток є число, а не вектор, і, отже, не є елементом множини.

Задача 2. З’ясувати, чи буде алгебраїчною операцією знаходження спільного дільника натуральних чисел ів множині .

Розв’язання. Для будь-яких натуральних чисел можна знайти їх спільний дільник, але результат цієї дії може бути неоднозначним: числа іможуть мати кілька спільних дільників. Отже, знаходження спільного дільника двох натуральних чисел не є алгебраїчною операцією.

Задача 3. З’ясувати, чи будуть алгебрами структури: a) ; b) . Знайти підалгебри.

Розв’язання. Структура є алгеброю, оскільки множення є алгебраїчною операцією на множині : . Підалгеброю буде структура , оскільки і множина є замкненою відносно операції множення.

Структура не є алгеброю, оскільки додавання не є алгебраїчною операцією на множині : .

Задача 4. Нехай задано алгебру , носієм якої є множина додатніх дійсних чисел , з бінарною операцією множення, унарною операцією знаходження оберненого елемента і нульарною операцією 1 та алгебру того ж типу . Довести, що відображення є ізоморфізмом.

Розв’язання. Доведемо, що відображення є гомоморфізмом алгебрта. Для кожної з заданих операцій маємо:;;. Кожна з цих рівностей вірна для будь-якихза властивістю логарифмів. Доведемо, що відображенняє взаємно однозначним. Нехай, але. Тоді

.

Отримали протиріччя. Отже, відображення є ізоморфізмом алгебрта.

Задача 5. Класифікувати алгебри:

a) , де – множина квадратних матриць розмірності ;

b) .

Розв’язання. Алгебра – некомутативний моноїд, оскільки множина квадратних матриць є замкненою відносно множення; множення матриць є асоціативною операцією. Нейтральним елементом є одинична матриця : для довільної матрицівиконується рівність. Ця алгебра не є групою, оскільки обернені існують лише для невироджених матриць.

Розглянемо алгебру . Множина є замкненою відносно множення (див. задачу 3), ця операція асоціативна і комутативна, як множення дійсних чисел. Елемент 1 є нейтральним, для кожного елемента існує обернений: . Отже,– абелева група.

A4

1. Чи будуть алгебраїчними операціями додавання, віднімання, множення та ділення, задані на: a) ;b) ?

2. Нехай . Вказати алгебраїчні операції та визначити їх властивості, якщо:

   1. ; с) ;

   2. ; d) .

3. Нехай . Знайти замикання множин .

4. Скласти таблицю для закону композиції поворотів площини квадрата навколо його центру, при яких квадрат суміщається сам з собою.

5. Побудувати декілька підалгебр алгебри . На прикладах з’ясувати, чи буде підалгеброю та, де– деякі підалгебри.

6. Вказати систему твірних для алгебр: a) ; b) .

7. Нехай задана алгебра , де– унарна операція обернений елемент. З’ясувати, чи будуть відношення “ = ” та “ < ” стабільними відносно вказаних операцій.

8. Виписати всі розбиття множини , що відповідають різним конгруенціям алгебри, де– унарна операція, задана таким чином:.

9. З’ясувати, чи буде відображення гомоморфізмом алгебрта, якщо:

1. ;

2. ;

3. .

10. Довести ізоморфізм алгебр: та.

11. Класифікувати тип алгебр:

1. ; с) ; e) ;

2. ; d) ; f) .

12. Чи буде абелевою групою алгебра , де ?

13. Побудувати групу з носієм .

14. Класифікувати тип алгебр:

1. множина цілих чисел, кратних (), з операціями додавання та множенням;

2. множина квадратних матриць розмірності () з операціями додавання та множення;

3. множина многочленів від однієї змінної скінченного степеня з дійсними коефіцієнтами з операціями додавання та множення;

4. множина раціональних чисел с операціями додавання та множення.

15. З’ясувати тип алгебри, носієм якої є множина і операції додавання та множення задані таким чином:

.

Знайти елементи, які мають обернені відносно множення.

16. Побудувати булеву алгебру на множині .

B4

1. Чи будуть алгебраїчними операціями додавання, віднімання, множення та ділення, задані на: a) ;b) ;c) ; d) ;e) ?

2. З’ясувати, чи будуть алгебраїчними операціями додавання, віднімання, множення та ділення, задані на множині , де.

3. Нехай задана алгебра , де. Операціїтазадані таким чином:,,, , решта значеньдорівнює. З’ясувати, чи буде множиназамкнена відносно. Знайти замикання множини.

4. З’ясувати, чи будуть алгебрами структури:

   1. ; с) .

   2. ;

5. З’ясувати, чи будуть асоціативними та комутативними операції, задані на :

   1. ; b) ; c) .

6. З’ясувати, чи буде системою твірних для алгебри множина, якщо: a) ; b) .

7. Побудувати декілька підалгебр алгебри . Чи може носієм підалгебри бути скінченна множина?

8. Нехай – булеан . Побудувати дві підалгебри алгебри .

9. На носієві алгебри , де, задано бінарне відношенняабо- парне,ділиться на. Визначити:a) відносно скількох операцій із сигнатури відношеннястабільне;b) чи є стабільним в;c) чи є конгруенцією.

10. З’ясувати, чи буде відображення гомоморфізмом алгебрта, якщо:

1. ;

2. ;

3. , де – скінченна множина,– її булеан.

11. Нехай , де– множина квадратних матриць-го порядку (),. З’ясувати, які з відображеньє гомоморфізмами, якщо:a) b) c)

12. На множині побудувати алгебру, ізоморфну алгебріде,, якщо, інакше.

13. З’ясувати тип алгебри:

1. ; d) ;

2. ; e) , де

3. ; f) .

14. Чи буде абелевою групою алгебра , де ?

15. Скласти таблицю для закону композиції на множині рухів та відображень ромба, які суміщають ромб сам з собою. Побудувати алгебру, визначити її тип.

16. Задати множину підстановок множини . Побудувати алгебру, визначити її тип, виписати всі її підалебри.

17. Класифікувати тип алгебр:

1. множина цілих чисел з операціями додавання та множенням;

2. множина комплексних чисел з операціями додавання та множення.

18. Чи утворює кільце відносно операції додавання та множення множина всіх дробів із знаменником 7?

19. Довести, що множина зі звичайним додаванням і множенням є кільцем. Чи буде воно полем?

20. Нехай задана множина матриць виду , де. Визначити тип алгебри.

21. З’ясувати, чи буде булевою алгеброю , де

С4

1. Вказати, для яких пар елементів із діябуде алгебраїчною операцією на, якщо:

1. ; с) .

2. ;

2. Нехай , де– множина квадратних матриць другого порядку, елементами яких є цілі числа. Нехай

.

Знайти замикання .

3. Нехай , де– множина квадратних матриць другого порядку, елементами яких є невід’ємні цілі числа. Довести, що множинає системою твірних алгебри

4. Нехай задана алгебра , де операціявизначена наступним чиномВказати підалгебри, з’ясувати, чи існують під- алгебриз двохелементним носієм. Чи буде алгебрапівгрупою?

5. Нехай задана алгебра , де операціявизначена наступним чиномтав інших випадках. Вияснити, чи буде відношеннястабільним відносно операції.

6. З’ясувати, чи буде відображення гомоморфізмом алгебрта, якщо:

1. ;

2. .

7. Довести гомоморфізм алгебр та, де– функція Пеано (функція слідування),– довільна множина,– унарна операція. Вказати систему твірних алгебри.

8. З’ясувати тип алгебри , де– множина векторів у трьохвимірному просторі, а операція– це векторний добуток.

9. Нехай – булеан скінченної множини. З’ясувати тип алгебри:

1. ; с) ;

2. ; d) .

10. Нехай . Задати операцію на множинітаким чином, щоб алгебрабула:

a) групоїдом; b) півгрупою; c) моноїдом; d) групою.

11. З‘ясувати, чи будуть групами наступні множини функцій з операцією суперпозиції:

1. , де ;

2. , де .

12. Нехай задана множина матриць виду , де, . Визначити тип алгебри .

13. З’ясувати тип алгебри: , де– класи лишків за модулем,і– додавання та множення за модулемвідповідно, якщо:a) ; b) .