2. Множини

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. Нехай . Визначити, які з наведених тверджень є правильними, а які – ні. Відповідь обґрунтувати.

a) ; b) ; c) ;

d) ; e) ; f) .

Розв’язання.

1. Твердження правильне, тому що об’єкт міститься у множині .

2. Твердження також правильне, оскільки множина не містить об’єкта .

3. Твердження невірне, тому що серед елементів множини немає елемента.

4. Твердження правильне, оскільки для елементів множини маємо:, отже, .

5. Твердження невірне, оскільки елемент, але.

6. Твердження вірне, оскільки множина  не має елементів, тому умова не порушується для жодного.

Задача 2. Обчислити наведені вирази при заданих множинах ,,,та.

a) ; b) ; c) ; d) ; e) .

Розв’язання.

1. Оскільки лише елементи 5 та 6 є спільними для множин та, то.

2. Очевидно, не існує жодного елемента, який би належав як множині , так й множині. Отже, множина не містить жодного елемента, тобто є порожньою: .

3. Елементи 2, 8, 0 належать множині і одночасно не належать множині, тому .

4. Оскільки , то, скориставшись рівністю , маємо . Ми отримали елементи, які належать або тільки множині , або тільки множині, але не обом множинамтаодночасно.

5. Оскільки , то– множина елементів, які належать універсальній множиніі не належать множині. Остаточно,.

Задача 3. Довести, що для будь-яких множин і.

Розв’язання. Для доведення вказаної рівності достатньо показати, що та . Доведемо спочатку, що . Використовуючи визначення операцій різниці, перетину множин та операції доповнення множини, маємо: тата, отже, доведено, що, а це означає, що . Тепер покажемо, що : , отже, .

Задача 4. Довести, що з випливаєдля будь-яких множин.

Розв’язання. Потрібно показати, що за умови . Іншими словами, при доведенні включення можна користуватися не лише загальними відомостями про множини (такими, наприклад, як означення підмножини та операцій над множинами), але й тим, що . Отже, нехай . Тоді, згідно з означенням операції перетину множин, маємо:та. Оскільки, то з того, що, випливає. Отже, з того, щота, випливає, тобто .

Задача 5. Довести, що для будь-яких множин.

Розв’язання. Для доведення цієї еквівалентності потрібно показати, що та.

Доведемо спочатку, перше з цих тверджень. Для цього доведемо включення за умови, що . Отже, нехай . Звідси випливає, що та(тобто). Оскільки, то , отже,або. Але відомо, що, тобто залишається тільки можливість. Таким чином, показано, що, а це означає, що.

Доведемо друге твердження: . Потрібно показати, що за умови . Нехай . Для довільної множиниабо, або. Розглянемо окремо кожен з цих випадків. Нехай. Тоді з означення операції об’єднання множин випливає, щоє елементом множини, яка є об’єднанням множиниз будь-якою множиною. Отже,. Розглянемо тепер другий випадок, тобто. Тоді, а оскільки, то. Але відомо, що, а це означає, що, тобто.

Доведення можна записати таким чином:

, , ,

або , .

, або 1) ,або 2),.

1) , .

2) , , .

Задача 6. Використовуючи основні теореми та аксіоми алгебри множин, довести, що .

Розв’язання. Для спрощення виразу в лівій частині рівності послідовно застосуємо закон де Моргана, тотожність , закон асоціативності та закон ідемпотентності:

.

Задача 7. Спростити вираз .

Розв’язання. Маємо

.

При спрощенні даного виразу послідовно застосовувалися закон дистрибутивності (до виразу ), тотожності та . При перетвореннях також використовувались закони асоціативності та комутативності.

Задача 8. Нехай . Побудуватита.

Розв’язання. Декартовим добутком множин тає множина

.

Декартовим степенем множини є множина

.

Задача 9. Довести, що .

Розв’язання. Доведемо спочатку, що . Множина є декартовим добутком двох множин та , отже, елементи цієї множини – це впорядковані пари. Таким чином, маємо:аботааботаабо. Це і означає, що.

Тепер покажемо, що . Аналогічно попередньому випадкуабо таабота.

Розглянемо випадок та. Маємо:та . Якщо та, то маємо:та. Отже, у кожному випадку доведено, що . Таким чином, рівність виконується.

A2

1. Задати множину іншим способом:

1. –корінь рівняння ;

2. 

3. 

4. , де .

2. Вказати вірні співвідношення:

1. 1{1, 2, 3}; f) 1{1, 2, 3}; k) 0Ø;

2. 1{{1, 2, 3}}; g) {1}{1, 2, 3}; l) Ø{Ø};

3. {1}{1, 2, 3}; h) {1}{{1, 2, 3}}; m) Ø{1, 2};

4. {1}{{1}, { 2, 3}};i) {1}{{1, 2}, 3}; n) Ø{Ø};

5. 1{{1}, { 2}, 3};j) {1, 2}{1, 2, 3}; o) Ø{1, 2}.

3. Вказати вірні співвідношення:

1. c)

2. d)

4. Нехай – довільні скінченні множини. Вказати вірні твердження:

1. d)

2. e)

3. f) .

   5. Нехай –множина всіх парних чисел, – множина всіх чисел, які можуть бути представлені у вигляді суми двох непарних чисел. Довести, що

   6. Побудувати булеан множини , тобто множину всіх її підмножин.

   7. Яку кількість підмножин містить

1. порожня множина;

2. одноелементна множина;

3. двоелементна множина.

8. Зі скількох елементів складається множина , якщо її булеан містить 32 елементи?

9. Довести, що нескінченна множина має безліч підмножин.

10. Які з даних тверджень справедливі для будь-яких множин

а) і

b) і ?

Відповідь обґрунтувати.

8. Нехай ,,. Побудувати .

9. Чи виконується для довільних множин ірівність?Відповідь обґрунтувати. Сформулювати і довести необхідні та достатні умови виконання цієї рівності.

10. Довести закон де Моргана

11. Довести включення .

12. Довести еквівалентності:

a) ;

b) ;

c) .

16. Перевірити (довести або спростувати) справедливість таких тверджень:

a) якщо , то;

b) якщо , то;

c) якщо та, то.

17. За допомогою діаграм Венна перевірити теоретико-множинну рівність . Довести її двома способами.

18. Довести тотожності, використовуючи основні теореми та аксіоми алгебри множин:

a) ;

b) ;

c) .

19. Спростити вираз (– універсальна множина):

a) ;

b) .

19. Побудувати приклади розбиття та покриття множини .

20. Побудувати , якщо,.

21. Нехай – скінченні множини, причому. Скільки елементів містить множини?

22. Що можна сказати про множини і, якщо:

a) ; b) ?

24. Побудувати , якщо,,.

25. Зобразити на площині такі множини:

a) ; b) .

24. Довести, що для довільних множин виконується .

25. Довести, що для довільних непорожніх множин виконується і .

B2

1. Чи є множиною рівність:

а) ;

b) ;

с) ?

2. Множини задані за допомогою характеристичної властивості. Задати їх за допомогою переліку елементів:

a) ;

b) .

3. Множини задані переліком елементів. Записати їх за допомогою характеристичної властивості.

a)

b)

4. З яких елементів складається множина якщо?

5. Нехай . Навести декілька вірних співвідношень із знаками належності та включення.

6. Визначити всі можливі співвідношення (рівності, нерівності, включення, строге включення) між такими множинами геометричних фігур:

–множина всіх ромбів;

–множина всіх ромбів, усі кути яких прямі;

–множина всіх квадратів;

–множина прямокутників, усі сторони яких рівні;

–множина всіх прямокутників;

–множина чотирикутників, усі кути яких прямі.

4. Чи існують такі множини та, що і ?

5. Які з наведених тверджень є правильними (– множини):

a) якщо і то

b) якщо і то

У тих випадках, коли твердження невірне, разом із контрприкладами побудуйте окремі приклади, для яких воно виконується.

4. Для заданої множини побудувати множину всіх підмножин

1. Ø; b) {Ø}; c) .

   10. Маючи множини , за допомогою операційта доповнення записати множини елементів, які

1. належать всім трьом множинам;

2. належать принаймні двом з даних множин;

3. належать хоча б одній з цих множин;

4. не належать будь-яким двом множинам, але належать хоча б одній з них;

5. не належать жодній із множин.

10. Нехай – множина всіх прямокутників, – множина всіх ромбів на площині. З яких елементів складається множина

a) ; b) ; c) ?

10. Нехай Обчислити

a) ; b) ; c)

10. Що можна сказати про множини і, якщо:

    а) ; b) ; c) ;

    d) ; e) ; f) ;

    g) ; h) ; i) .

11. Знайти множини та, якщоі

12. Довести еквівалентності:

a) і; b) .

10. Довести один із законів поглинання.

11. За допомогою діаграм Венна перевірити такі рівності:

a) ; b).

10. Довести тотожності шляхом рівносильних перетворень.

а) ; d) ;

b) ; e) .

c) ;

10. Спростити вирази:

a) ;

b) ;

с) .

10. Знайти всі розбиття множини .

11. Із вказаних нижче множин підібрати такі їх системи, які задавали б розбиття множини всіх цілих чисел :

;

;

–множина всіх цілих додатних чисел;

–множина всіх цілих від’ємних чисел;

–множина всіх парних чисел;

–множина всіх непарних чисел;

–множина всіх простих чисел;

–множина всіх складених натуральних чисел.

Навести два приклади покриття множини .

10. Побудувати , якщо,,.

11. Побудувати , якщо.

12. Коли в множині є хоча б один елемент з однаковими першою та другою координатами?

13. Довести тотожність , де– непорожні множини.

14. Довести, що для довільних непорожніх множин виконується твердження.

С2

1. Чи існують такі множини , для яких виконувалися б умови:

a) ;

b) .

2. Нехай – довільна множина. Обчислити:

a) ; d); g);

b) ; e); h);

c) ; f); i).

3. Обчислити:

a) ;c) ;e) ;

b) ;d) ; f) .

4. Нехай – скінченні множини, , . Обчислити.

5. На фірмі працюють 67 чоловік. З них 47 співробітників володіють англійською мовою, 35 – німецькою, 23 володіють обома мовами. Скільки співробітників фірми не знають жодної іноземної мови?

6. Довести узагальнені закони:

a) ;

b) .

7. Спростити

a) ;

b) .

8. Довести тотожності:

a) ;

b) ;

с) ;

d) .

9. Довести , де– булеани множинтавідповідно.

10. Яким повинно бути розбиття скінченної множини на два класи, щоб декартів добутокмістив найбільшу кількість елементів?

11. Чи істинними будуть твердження:

a) ; b) ; с) Ø.