С.А. Руднев. Теория управления. Конспект лекций. Кафедра “Системы автоматического управления”. Для с / Лекция_26

126

Лекция № 27

Тема: Косвенные оценки процессов в линейных непрерывных стационарных системах уравнения.

План лекции

1. Общие положения.

2. Оценка процесса регулирования по частотным характеристикам.

Общие положения.

На практике при анализе и синтезе САУ часто применяют косвенные оценки качества процессов. Их преимущество перед непосредственными показателями качества заключаются в том , что для их определения не требуется решать дифференциального уравнения и поэтому они могут быть найдены с меньшей затратой сил и времени . Недостатком этих оценок является то , что для многих из них не установлена связь с прямыми оценками , которые как правило , задаются в требованиях , предъявляемых к системе .

Наибольшее распространение получили следующие оценки :

1.Оценки связанные с частотными характеристиками системы ;

2.Оценки, связанные с распределением полюсов передаточной функции замкнутой системы;

3.Интегральные оценки .

Оценка процесса регулирования по частотным характеристикам.

Построение кривой переходного процесса не всегда обязательно для определения показателей качества системы. Иногда целесообразно использовать способы, позволяющие определить вид переходной характеристики h(t) без построения всей кривой процесса . Это можно сделать по вещественной частотной характеристике замкнутой системы U(w):

Пусть вещественная частотная характеристика U(w) имеет следующий вид ( см. рис.87).

Рис.87.

Интервал 0 называют интервалом положительности . Интервал называют интервалом существенных частот , если при w≥w_c , где - достаточно малая величина . Влияние остальной части ВЧХ U(w) при w≥w_c можно пренебречь . Если же при w>w_п то при оценке переходного процесса по вещественной частотной характеристике в первом приближении можно принимать во внимание лишь интервал положительности ВЧХ.

Отбрасывание высокочастотной части ВЧХ влияет главным образом на начальную часть процесса , которая при этом будет оцениваться более грубо . Начало же ВЧХ определяет , главным образом , финальную часть переходного процесса .

Из анализа формулы

(103)

получены следующие оценки качества переходного процесса .

1.Установившееся значение процесса регулирования равно значению ВЧХ пи w=0:

При этом , если система статическая , то

к – коэффициент передачи разомкнутой системы и

U(0)=1,

Если система астатическая .

2.Чтобы величина пере регулирования , выражается в процентах от установившегося значения выходной величины , не превышала 18% , т.е.

д остаточно , чтобы вещественная частотная характеристика представляла собой положительную не возрастающую функцию частоты w (см. рис.88.).

88.

Доказательство .

Пусть U(w) – не возрастающая функция . Представим ( 103 ) в виде

. (104)

В выражении (104) первый , третий и последующие нечетные интегралы положительны

(sin wt>0) , второй и последующие четные интегралы - отрицательные (sin wt<0) . Таким образом члены ряда правой части (104) знакопеременны , и они не возрастают по модулю . Сумма знакопеременного и не возрастающего ряда не превышает его первого члена , т.е.

или , т.к.

здесь x=wt. Учитывая , что

и

,

получим ,

откуда для перерегулирования

или

3 .Для монотонности процесса h(t) достаточно , чтобы была отрицательной , убывающей по модулю функцией , причем U(∞)=0. (см. рис.89.).

Рис.89.

4.Процесс регулирования будет заведомо немонотонным (имеется перерегулирование ), если не выполняется условие

U(w)<U(0).

5 .В случае , если вещественная частотная характеристика U(w) может быть представлена как разность двух положительных не возрастающих функций (см. рис.90.),

Рис.90.

U₃(w)=U₁(w)-U₂(w),

то перерегулирование h_max – h_уст будет меньше, чем

1,18U_max – U₀ .

6.Для монотонных процессов время регулирования , определяемое по моменту входа в

5%-ую полосу от h_уст , будет больше , чем .

В общем случае

t_p> .

При прочих равных условиях t_p тем меньше , чем w_n , больше.

7.На основе аппроксимации вещественной частотной характеристики U(w) двумя трапециями В.В. Солодовников построил графики зависимостей

(105)

где - перерегулирование в % , U_max – максимальное значение вещественной частотной характеристики , t_p – время регулирования , w_ср – частота среза , К – положительное число. Общий вид характеристики U(w) и графиков (105) приведен на рис.91.

Рис.91.

Эти графики были построены для ряда соотношений параметров w₁w₄ , например , приведенные номограммы относятся к случаю

На приведенной номограмме время регулирования t_p связано с частотой среза w_cp . Вместо w_cp в ряде источников берется w_n , которая близка к частоте w_cp .

Таким образом, по заданному перерегулированию можно найти U_max и затем w_cp*t_p . По заданному значению t_p легко определить требуемое значение w_cp.

Однако отрицательная часть ВЧХ также влияет на перерегулирование, увеличивая его на величину . Это можно учесть, положив тогда по монограмме, показанной на рисунке. .,можно найти допустимые значения и , такие, что при выполнении условия

,

Суммарное перерегулирование не будет превосходить заданного значения . Рассмотрим номограмму замыкания (см.рис.92 ).

Рис.92

Условие () определяет запретную область, куда не должна попадать ЛАФЧХ разомкнутой системы, т.е. там, где

Должно выполняться неравенство