Лекция № 25
Тема: Методы построения процесса регулирования.
План лекции:
1. Общие положения.
2. Частотный метод построения процесса регулирования.
Общие положения
Для определения установившейся ошибки,
характеризующей точность системы не
нужно строить весь процесс регулирования.
Однако обычно кроме точности проектировщика
интересует и вид процесса регулирования
(колебательный или апериодический) и
такие показатели, как перерегулирование
и время перерегулирования. Эти показатели
можно определить, только построив график
всего процесса
(
-управляемая
величина).
Р
ассмотрим
возможные способы построения процесса
регулирования
в системе, структурная схема которой
показана на рисунке 83.
Рис.83
Здесь
-входной
сигнал,
-выходной
сигнал,
-передаточная
функция САУ (безразлично, замкнутой или
разомкнутой).
К такой раьочей схеме может быть сведена любая задача определения процесса регулирования в линейной системе.
Передаточной функции () соответствует дифференциальное уравнение
Рассмотрим аналитические способы построения процесса регулирования. В общем случае построение процеса регулирования сводится к решению дифференциального уравнения (). При нулевых начальных условиях справа, когда
от уравнения () можно перейти к уравнению в изображениях
после чего
Вычисление обратного преобразования Лапласа было рассмотрено ранее в разделе “Свободный и вынужденный режим движения САУ”.
Пример. Найдем переходную функцию апериодического звена. Уравнение звена имеет вид
При
последовательно имеем:
откуда
Если начальные условия по переменным
известны и они не являются нулевыми,
решение уравнения (91)
производится с помощью преобразования
Лапласа с использованием теоремы об
изображении производной (см. тот же
раздел – определение свободной
составляющей процесса регулирования
и рассмотренный там пример).
Пример. В предыдущем уравнении
.
Найти решение уравнения. Применяя
преобразование Лапласа к обеим частям
уравнения (92) с использованием
теоремы об изображении производной,
получим
и
Если известны начальные условия слева
и
функция
такова, что правая часть уравнения ()
при
имеет разрыв второго рода, то функция
и ее производные при
могут иметь разрывы первого или второго
рода, так что начальные условия справа
будут отличаться от начальных условий
слева. В этом случае для решения
уравнения () может использоваться
преобразование Лапласа, в котором при
вычислении изображений производных
используются начальные условия слева,
т.е. при 0-. После полученного таким
образом изображения процесс
находится вычислением обратного
преобразования Лапласа
Подробно об этой особенности отдельных САУ было сказано в разделе “Решение дифференциальных уравнеинй линейных стационарных САУ”.
В частном случае ступенчтоог
входного сигнала для рассчета
процесса
могут использоваться частотные
характеристики системы.
Частотный метод построения процесса регулирования.
Пусть система устойчива, т.е. корни характеристического уравнения
левые. В этом случае собственные движения
системы
при
и процесс
является преобразуемой по Фурье функцией.
Пусть известно преобразование Фурье
собственных движений системы. Найдем
.
-это формула обратного преобразования Фурье.
Пусть
.
Тогда 
В () подынтегральное выражение второго
интеграла
-
нечетная функция
и так как интеграл вычисляется по
центрально-симметричному интервалу,
то
и, следовательно
Так как
,то
Тогда из () с учетом () найдем
откуда следует, что
С учетом последнего равенства зависимость (94) можно записать в виде
или
Зависимость для собственного движения системы может быть также приведена к виду
Рассмотрим частный случай, когда
и начальные условия нулевые. В этом
случае
- это преобразование Лапласа общего
процесса системы и
где U(w) – вещественная ЧХ замкнутой системы. Тогда
Подставляя выражения для Vc(w) в формулу (97), получим
(98)
Имеем
после чего формула ( ) может быть приведена к виду
Для процесса x(t) может быть получена и другая формула
На основе полученных зависимостей разработан графоаналитический способ расчета процесса x(t) c помощью так называемых трапецеидальных вещественных ЧХ . С распространением ЭВМ этот метод утратил свое значение . Однако зависимость (99) указывает на связь между ВЧХ и процессом X(t) и позволяет получить некоторые косвенные оценки процесса регулирования.