Лекция № 9
Тема: Временные характеристики САУ.
План лекции:
1. Временные характеристики САУ.
2. Связь между переходной характеристикой и импульсной переходной функцией.
3. Интегральная связь выходной координаты с входной.
Временные характеристики САУ.
Ранее для описания динамических свойств САУ и их элементов использовались дифференциальные уравнения и передаточные функции. Динамические свойства звеньев могут быть также определены по его переходной функции ( переходной характеристики ) и импульсной переходной функции ((весовой функции), (функции веса)).
Переходная функция системы (звена) представляет собой переходный процесс на выходе , возникающий при подаче на вход единичной ступенчатой функции 1(t) при нулевых начальных условиях. Стандартные обозначения переходной функции h(t) (см. рис.41)
Р
ис.41.
Если входное воздействие представляет собой запаздывающую единичную ступенчатую функцию, f(t)=1(t - a), то при нулевых начальных условиях на выходе будет наблюдаться реакция h(t-a), a = const .
Импульсная переходная функция системы или звена представляет собой переходный процесс на выходе , возникающий при подаче на вход δ – функции при нулевых начальных условиях . Она обозначается как w(t) (см. рис.42)
Р
ис.42.
Связь между переходной характеристикой и импульсной переходной функцией.
Установим связь между переходной характеристикой и импульсной переходной функцией . Рассмотрим дифференциальное уравнение звена
Продифференцируем однократно последнее неравенство . Получим
Сравнивая (34) и (36), найдем
(37)
Отметим, что h(t)
0
при t<0 , w(t)
0
при t<0 . Это следует
, в частности , из физических соображений
: следствие не может появиться раньше
причины . В общем случае
при t<a , w(t-a)
0
, при t<a.
Таким образом помимо дифференциального уравнения для описания одного и того же звена можно использовать :
-
передаточную функцию W(p) ,
-
переходную характеристику h(t),
-
импульсную переходную функцию w(t).
Связь между h(t) и w(t) задается выражением (37). Установим связь между w(t) и W(t), а также между h(t) и W(p).
Уравнение звена в изображениях имеет вид
Таким образом
т.е. преобразование Лапласа импульсной переходной функцией звена представляет собой переходную функцию того же звена .
Пусть f(t)=1(t). Тогда F(p)=1/p и из (38) получим
Пример. Пусть
Найдем
импульсную переходную функцию и
переходную характеристику этого звена
.
и тогда
Для переходной характеристики получим
.
Интегральная связь выходной координаты с входной.
Рассмотрим определение выходной координаты звена или системы при произвольном входном воздействии f(t) . Звено имеет передаточную функцию W(p) , импульсную переходную функцию w(t) и переходную характеристику h(t).
Запишем уравнение звена в изображениях
X(p)=F(p) W(p).
По теореме свертки во временной области
Где f(t) – оригинал , соответствующий изображению F(p) , т.е. входной сигнал ; w(t) – оригинал , соответствующий изображению W(p) , т.е. импульсная переходная функция.
Таким образом
(39)
или с учетом свойства коммутативности свертки
При этом
при t<0 . Это следует ,
например , из (39) . В этом выражении
при
, т.е.
при
t<0 .
Пример . Пусть уравнение САУ имеет вид
Определить выходную координату системы.
Находим импульсную переходную функцию , т.е. решение уравнения
С помощью преобразования Лапласа имеем
С использованием зависимости (39) найдем
Получим интегральную связь , выражающую выходной сигнал через входной с помощью переходной характеристики . Обозначим
Тогда из (38) имеем
(39)
По теореме об изображении производной
отсюда следует, что
(40)
Объединяя (39), (40), можно записать
после чего, переходя к оригиналам, с учетом теоремы свертки получим
(41)
Применение формулы (41) для предыдущего примера дает следующий результат :
