Лекция № 10
Тема: Частотные характеристики линейных САУ.
План лекции:
1. Частотные характеристики линейных САУ.
2. Минимально-фазовые звенья и системы.
3. Логарифмические частотные характеристики.
Частотные характеристики линейных САУ.
Рассмотрим прохождение гармонического сигнала f(t)=Acoswt через САУ с передаточной функцией W(p) и найдем установившуюся реакцию системы на этот входной сигнал.
Рис.43.
Для упрощения выкладок введем сигнал
и найдем установившуюся реакцию x1(t)
на этот сигнал. Тогда по принципу
суперпозиции , так как
Итак , определим реакцию системы на сигнал f1(t). С использованием преобразования Лапласса получим
Положим для простоты , что все корни p1 ,p2, …,pn характеристического многочлена системы простые и
(41)
Обозначим W(p)=B(p)/D(p). Тогда с использованием формул обратного преобразования Лапласа найдем
(42)
В формуле (42) Pk
особые точки выражения , стоящего
под знаком вычета. Это точка p0=jw
и значение pi
, i=
- корни характеристического многочлена
системы D(p). Из (42) с
использованием формул вычетов найдем
С учетом (41) получим , что
т.е. установившаяся реакция системы на сигнал f1(t) имеет вид
Выделяя действительную часть последнего выражения , получим установившуюся реакцию на сигнал f(t) :
или
,
(43)
где
(44)
Из анализа (43), (44) можно сделать следующие выводы :
1. Установившаяся реакция ( в общем случая вынужденный процесс ) линейной системы на гармонический входной сигнал представляет собой гармонический сигнал той же частоты.
2.При этом амплитуда гармонического
сигнала на выходе отличается от амплитуды
гармонического входного сигнала в
раз.
3.Фаза гармонического выходного сигнала отличается от фазы входного сигнала на величину argW(jw) ;
Выражение
получающегося подстановкой в передаточную функцию W(p), называется амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) линейной системы , или просто частотной характеристикой САУ.
АФЧХ системы представляет собой преобразование Фурье импульсной переходной характеристики (весовой функции) w(t), т.е.
(при постановке проделав интегрирование
учтено, что
)
АФЧХ W(jw) является комплексной функцией вещественного переменного w и она может быть представлена в следующем виде :
В этом выражении
- амплитудная частотная характеристика
(АЧХ),
φ(w)=arg W(jw) – фазовая частотная характеристика (ФЧХ),
P(w)=Re W(jw) – вещественная частотная характеристика,
Q(w)=Im W(jw) – мнимая частотная характеристика.
Таким образом , система может быть задана либо характеристиками A(w), φ(w) либо характеристиками P(w), Q(w)
Для наглядного представления АФЧХ W(jw) используется комплексная плоскость . Для каждого значения w находится соответствующая точка W(jw)=P(w)+jQ(w) на комплексной плоскости . При непрерывном изменении частоты w от 0 до ∞ положение изображающей точки на комплексной плоскости меняется непрерывным образом . Геометрическое место точек , соответствующих значениям w от 0 до ∞ представляет собой годограф амплитудно-фазовой частотной характеристики (см. рис.44)
Р
ис.44.
АФЧХ может быть построена как для положительных , так и для отрицательных частот. При замене w на –w получим
в итоге АФЧХ для отрицательных частот получается зеркальным отображением АФЧХ для положительных частот относительно оси абсцисс комплексной плоскости .
В принципе можно ограничиться рассмотрением только положительных частот . Однако при использовании всего диапазона частот -∞ <w<+∞ многие формулы получают более удобный вид .
Н
а
практике наиболее часто используется
амплитудная и фазовая частотные
характеристики A(w), φ(w). При
этом используются соответствующие
графики в функции w (см.
рис.45)
Рис.45.
Минимально-фазовые звенья и системы.
Если все нули и полюсы передаточной функции W(p) левые, т.е. лежат в левой полуплоскости комплексной плоскости “p”, то звено стакой передаточной функцией называется минимально-фазовой . Звено не удовлетворяющее этому свойству , называется не минимально-фазовым. Минимально-фазовые звенья имеют меньшие по абсолютной величине фазовые характеристики по сравнению с звеньями не минимально-фазовыми.
Для минимально-фазовых звеньев имеют место следующие зависимости :
где L(u)=ln A(u), λ=ln u/w , u – переменная интегрирования .
Эти зависимости показывают , что для минимально-фазовых звеньев достаточно задаться характеристикой P(w) или Q(w) или A(w). Поэтому при рассмотрении таких систем можно ограничиться , например, АЧХ A(w).Фазовая характеристика при этом полностью определяется АЧХ.
Логарифмические частотные характеристики.
В инженерной практике наибольшее распространение получили логарифмические амплитудно-фазовые частотные характеристики (ЛАЧХ) САУ. Это характеристики имеющие следующие особенности :
1.Рассматривается логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика (ЛАЧХ) H(w) и логарифмическая фазовая характеристика (ЛФЧХ) φ(w) системы .При этом по оси w (оси абсцисс) используется логарифмический масштаб (см. рис.46.) Отрезок , соответствующий 10-кратному изменению частоты , называется декадой . Обычно в построениях 1 декада соответствует 50 мм.
Р
ис.46.
2.Амплитудано-частотная характеристика заменяется логарифмической амплитудно- частотной характеристикой по формуле
Эта величина измеряется в децибелах (Дб) . Если A(w)=1 , то H(w)=0 дб,
A(w)=10 соответствует H(w)=20 Дб ,
A(w)=100 соответствует H(w)=40 Дб ,
A(w)=0.1 соответствует H(w)= - 20 Дб и т.д. Заметим также, что
A(w)=2 соответствует (примерно) 6 Дб и
A(w)=1.41 соответствует
H(w)
3
Дб .
При построении ЛАЧХ по оси ординат откладывают значения H(w) в Дб .В стандартной сетке 1 Дб соответствует 2 мм. Ось абсцисс проходит через значение H(w)=0 . Ось ординат располагается достаточно произвольно , обычно ее расположение определяется параметрами системы .
3.ЛФЧХ строится в координатах φ - lg w , т.е. сама характеристика φ(w) преобразованиям не подвергается . В стандартной сетке 10 соответствует 1мм.
Достоинством ЛАЧХ является их наглядность и возможность построения практически без вычислительной работы . Особенно это проявляется , когда АФЧХ является произведением отдельных сомножителей . Пусть, например
Тогда
т.е.
При этом ЛАЧХ соединения определяется выражением.
т.е. ЛАЧХ последовательного соединения равна сумме ЛАЧХ входящих в него звеньев . Так как фазовые характеристики в этом случае также суммируются , то определение результирующих ЛАЧХ сводится к простейшим построениям.