С.А. Руднев. Теория управления. Конспект лекций. Кафедра “Системы автоматического управления”. Для с / Лекция_18

95

Лекция № 19

Тема: Д-разбиение.

План лекции:

1. Пространство Д параметров.

2. Анализ пространства Д параметров.

Пространство Д-параметров.

Критерии устойчивости позволяют выяснить, устойчива или нет автоматическая система . При этом предполагают , что все параметры системы заданы . Заданы все параметры кроме одного или двух . Необходимо установить , при каких значениях этих параметров САУ будет устойчивой , т.е. ставиться задача выделения областей устойчивости по одному или двум параметрам .

Общая теория построения областей с одинаковым числом левых корней характеристического уравнения была разработана Ю.И. Неймафном в 1948г. Рассмотрим характеристические уравнения САУ

Приведем его к виду

(77)

здесь b₀ =1 , получающаяся делением обеих частей уравнения на b₀ .

При чем значения коэффициентов за переменные и введем пространство Д параметров – коэффициентов характеристического уравнения (77). Некоторой точке этого пространства соответствует определенные коэффициенты и, следовательно, вполне определенные значения корней характеристического уравнения . Разобьем пространство Д поверхностью на ряд областей так , чтобы точкам одной области соответствовало определенное число левых корней характеристического уравнения (77).

Если уравнение (77) имеет степень n , то очевидно , что таких областей в пространстве Д будет n+1 . Это области Д₀, Д₁, Д₂, …Д_n , точкам соответствуют коэффициенты такие , что характеристическое уравнение (77)имеет соответственно 0,1,2,…,n корней в левой полуплоскости плоскости “p” . Очевидно , что областью устойчивости будет область Д_n , так как именно в этом случае все корни характеристического уравнения (77)удовлетворяют условию

Предположим, что разбивка пространства Д поверхностью на области Д₀, Д₁, Д₂, …Д_n произведена . Предположим также , что некоторым заданным значениям коэффициентов соответствует точка T(b₁,b₂,…,b_n), принадлежащая области Д_к . Следовательно , заданным значениям коэффициентов соответствует к левых и n-k правых корней характеристического уравнения (77).

Анализ пространства Д параметров.

Будем изменять непрерывным образом коэффициенты b_i . Точка Т(b₁,…,b_n) при этом непрерывным образом изменяет свое положение в пространстве Д, двигаясь по некоторой кривой . Корни уравнения (77) при этом тоже плавно будут изменять свои величины , вычерчивая на плоскости “p” некоторые кривые, называемые корневыми годографами . Если при изменении коэффициентов b_i точка Т не вышла из области Д_к , то в процессе своего движения корни характеристического уравнения , которые были в левой полуплоскости плоскости “p” останутся там и все корни , которые были в правой полуплоскости плоскости “p” (см. рис.72) Данный рисунок относиться к характеристическому уравнению системы второго порядка

Рис.72.

Здесь поверхностью разделяющей плоскость Д на 3 области Д₀, Д₂, Д₃, является ось абсцисс и положительная полуось ординат . При движении точки Т в области Д₂ по обозначенной кривой корни p₁ , p₂ , изменяют свои значения , но они не попадают в левую полуплоскость плоскости “p”.

Если при изменении значений коэффициентов b_i точка Т вышла из области Д_к , перейдя при этом , например , в область Д_к+1 , то это означает , что один из корней характеристического уравнения ( ) бывший раннее в правой полуплоскости , перешел в левую полуплоскость . Если при этом точка Т находится на поверхности , разделяющей области Д_к и Д_к+1 , то это означает , что один из корней характеристического уравнения находиться на мнимой оси плоскости “p” (см. рис.73).

Р ис.73.

Если при изменении коэффициентов b_i точка Т движется в пространстве Д по поверхности раздела , то это означает , что на мнимой оси плоскости “p” находится какое-то количество (от 1 до n) корней характеристического уравнения (77 ). Таким образом , поверхность пространства Д , разделяющая его на области Д₀, Д₁,…, Д_n , является отображением мнимой оси плоскости “p”. Следовательно , для получения уравнения данной поверхности необходимо в характеристическом уравнении (77) сделать подстановку p=jw и выбрать коэффициенты b_i так, чтобы уравнение

(78)

удовлетворялось при всех значениях w : -∞<w<+∞. Геометрическое место точек пространства Д , в которых удовлетворяется уравнение (78) будет искомой поверхностью раздела .

Если считать , что в системе высокого (n>3) порядка изменяются все коэффициенты b_i характеристического уравнения , то построение такой поверхности становится крайне затруднительным . Однако задачу определения областей с одинаковым числом левых корней не обязательно решать для всех коэффициентов характеристического уравнения . Эту задачу можно решать относительно определенных параметров системы , например , коэффициента передачи САУ , постоянной времени какого-либо звена и т.п. Это тем более оправдано , что обычно большинство параметров системы является заданными и лишь некоторые параметры можно изменять в определенных пределах.