Лекция № 8
Тема: Передаточные функции различных систем.
План лекции:
1. Передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем.
2. Передаточные функции статических и астатических систем (первых порядок).
3. Общий случай.
Передаточные функции разомкнутой и замкнутой систем.
Рассмотрим структурную схему САУ, работающей по замкнутому циклу (см. рис.39)
Р
ис.39
Здесь f – задающее воздействие
φ – возмущающее воздействие
x – управляемая переменная ( выходная величина САУ ).
Используя принцип суперпозиции, рассмотрим в отдельности передаточные функции по задающему и возмущающему воздействиям.
При определении передаточных функций
по задающему воздействию будем полагать
.Тогда с использованием правил
структурных преобразований получим
(25)
Передаточная функция замкнутой системы по ошибке
определяется из системы уравнений
Исключая из последней системы X(p) , получим
В выражениях (25), (26) участвует так называемая передаточная функция разомкнутой системы
Которое определиться как отношение изображения X1(p) к изображению ∆X(p) при нулевых начальных условиях
.
Передаточная функция разомкнутой системы имеет большое значение в теории автоматического регулирования . Многие методы анализа и синтеза САУ основаны на использовании этой функции.
Передаточная функция САУ по возмущающему воздействию определится выражением
(27)
Рассмотрим замкнутую систему с единичной обратной связью при наличии только задающего воздействия . Структурная схема системы приведена на рис. .Она получается из предыдущей схемы при Woc(p)=1 и W(p)=W1(p)W2(P) .
Р
ис.40
В этом случае зависимости (25), (26) принимают вид
(28)
(29)
Здесь W(p) – передаточная функция разомкнутой системы .
Передаточная функция статической и астатической систем.
Рассмотрим замкнутую систему с единичной обратной связью . Пусть f(t)=1(t). Тогда F(p)=1/p и изображение сигнала ошибки ∆x(t) имеет вид
.
Обозначим
, где A(p) , B(p) – многочлены , не имеющие
общих множителей ,
Тогда
Найдем
По теореме о предельном переходе
(30)
Из этого следует , что , так как
A(0)+B(0)
0
, то
В первом случае мы имеем дело со статической системой и , таким образом , у нее передаточная функция разомкнутой системы имеет отличный от нуля свободный коэффициент характеристического многочлена , т.е.
Общий случай.
Во втором случае система является астатической .При этом А(0)=0 , т.е. а0=0 и передаточная функция разомкнутой системы имеет вид
(31)
Система с такой передаточной функцией называется системой с астатизмом первого порядка.
В случае , когда а0=а1=0 имеем
(32)
Это передаточная функция разомкнутой системы с астатизмом второго порядка. Очевидно , что при этом для входного сигнала f(t)=gt
Рассмотрим общий случай . Пусть
(33)
и
Тогда с использованием теоремы о предельном переходе получим
.
Из (33) имеем
,
где
Выражение для Ф0(p) – передаточной функции замкнутой системы по ошибке имеет вид
Тогда с учетом введенных обозначений
Могут представится три случая :
1. r > e , т.е. порядок
астатизма больше степени номинального
входного сигнала . При этом
2. r = e . При этом
и является конечной величиной.
3. r < e , т.е. порядок
астатизма меньше степени номинального
входного сигнала. При этом
.