92

Лекция № 18

Тема: Исследование устойчивости систем 1-3-го порядков.

План лекции:

1. Исследование устойчивости систем 1-3-го порядков.

2. Использование последовательной коррекции.

Исследование устойчивости систем 1-3-го порядков.

Рассмотрим систему первого порядка. Передаточная функция разомкнутой САУ имеет вид

Характеристическое уравнение разомкнутой системы представляется в виде

Tp+1+K=0 ,

откуда следует , что при любых положительных значениях Т, К замкнутая система устойчива.

Проведем аналогичное рассмотрение для системы второго порядка . Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Характеристическое уравнение замкнутой системы можно представить в виде

При Т₁>0 ,T₂>0 , K>0 все коэффициенты положительны , что для систем 2-ого порядка является необходимым и достаточным условием устойчивости .

Таким образом , замкнутые САУ 1-го и 2-ог порядков при любых положительных значениях своих параметров.

Рассмотрим теперь систему 3-го порядка с передаточной функцией разомкнутой САУ

.

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Применяя критерий Гурвица или критерий Вышнеградского , получим следующее условие устойчивости замкнутой системы

или после нескольких преобразований

(76)

Значение К_ГР определяет граничный коэффициент передачи системы , превышение которого ведет к неустойчивости .

Заметим , что (76) можно привести к виду

Из последней зависимости видно, что величина К_ГР зависит не от абсолютных значений постоянных времени , а от их соотношений . Таким образом , данная система имеет граничный коэффициент передачи.

В общем случае

Назовем разницу степеней многочленов R(p) и М(р) индексом передаточной функции . Нетрудно показать , что система , индекс передаточной функции которых равен 3 или превосходит 3 всегда имеют граничный коэффициент усиления . У таких систем при индексе, равном 3

и, следовательно , при некотором w₀ φ(w₀)=-180⁰ . Отсюда следует , что при некотором К_ГР всегда можно создать ситуацию , когда система окажется на границе устойчивости :

H(w₀)=0

φ(w₀)= - 180⁰ .

Дальнейшее увеличение К сделает систему неустойчивой .

Выполним исследование устойчивости и возможных способов стабилизации системы с помощью ЛАФЧХ . Рассмотрим систему с передаточной функцией

ЛАФЧХ системы при К=1 приведены на рис.69.

Р ис.69

Из построенных ЛАФЧХ видно, что на частоте w₂ при которой φ(w₂)= - 180⁰ , H(w₂)=-25 Дб. Это означает , что граничный коэффициент передачи разомкнутой системы , определяемый из условия устойчивости замкнутой САУ , равен

(точное значение , определенное из критерия Гурвица , составляет 19,25). Запас устойчивости ∆H=6 Дб обеспечивается при значении коэффициента К , равном

Однако при этом ∆φ=20⁰ , что слишком мало . Поэтому необходимо еще уменьшить величину К , чтобы обеспечить ∆φ =30⁰ . В результате графических построений получим , что ∆φ=30⁰ при К=5,3 .

Предположим теперь , что, исходя из некоторых дополнительных соображений на величину К накладывается ограничение

К10.

В этом случае w_c=4,6 , ∆φ=15⁰ , ∆H=3,5 дб, т.е. запасы устойчивости недопустимо малы . Возникает задача увеличения запасов устойчивости.

В создавшейся ситуации, когда величину К уменьшать нельзя запасы устойчивости могут быть увеличены только за счет введения дополнительных корректирующих звеньев.

Использование последовательной коррекции.

Рассмотрим вариант использования последовательной коррекции. Структурная схема скорректированной САУ приведена на рис.70 .

Р ис.70.

При введении коррекции могут быть использованы передаточные функции W_Ф(p) с опережением по фазе (ФЧХ корректирующего устройства φ_К(w)>0 ) и отставанием по фазе(φ_К(w)<0). Выбор того или иного типа коррекции определяется конкретной задачей , решаемой проектировщиком .

Попробуем скорректировать систему фильтром с опережением по фазе . Передаточная функция простейшего фильтра с такими свойствами имеет вид

,

Здесь m – параметр , называемый разносом фильтра , m>1. Эта величина определяет максимальный, положительный фазовый сдвиг , вносимый фильтром .

Зададимся m =5 и построим ЛАФЧХ корректирующего фильтра . Эти характеристики показаны на рис.71.

Р ис.71.

Совместим частоту с частотой среза не скорректированной системы , привязав , таким образом корректирующий фильтр по оси частот .ЛАФЧХ разомкнутой скорректированной системы, полученные суммированием характеристик объекта и корректирующего фильтра , представлены на рис. .

Из полученных характеристик видно , что для данной системы требуемого результата достичь не удалось . Одновременно с увеличением ЛФЧХ в районе прежней частоты среза происходит ее смещение вправо, фаза возрастает медленнее , чем убегает частота , так что увеличения запасов устойчивости достичь не удается .

Рассмотрим коррекцию с помощью фильтра с отставанием по фазе . Простейшая передаточная функция такого типа имеет вид

Если предположить, что в окрестности частоты среза ЛФЧХ скорректированной системы должна слабо отличаться от ЛФЧХ исходной системы , то значение этой новой частоты среза должно быть определено , исходя выбранного ∆φ . При ∆φ=30⁰ w_c=3,55 (определение w_c проводится непосредственно по ЛФЧХ) . Чтобы эта частота стала частотой среза в ее окрестности исходная ЛФЧХ должна быть опущена на 7 Дб . Такое изменение ЛАЧХ достигаются введением корректирующего фильтра . Полагая , что новая частота среза находится на высокочастотных асимптотах числителя и знаменателя передаточной функции W_Ф(Ф), определим m из соотношения

20lg 1/m= - 7дб ,

откуда

Чтобы в окрестностях новой частоты среза ЛФЧХ системы выберем Т₀ так , чтобы самая правая частота сопряжения в передаточной функции W_k(p) была в 10 раз меньше новой частоты среза , т.е.

откуда

Таким образом ,

Корректирующее устройство с такой передаточной функцией обеспечивает требуемый запас устойчивости ∆φ=30⁰ без снижения величин коэффициента передачи разомкнутой системы К=10.