С.А. Руднев. Теория управления. Конспект лекций. Кафедра “Системы автоматического управления”. Для с / Лекция_15

83

Лекция № 16

Тема: Критерий Найквиста для астатических систем.

План лекции:

1. Критерий Найквиста для астатических систем.

2. Частотный критерий устойчивости по числу пересечений АФЧХ разомкнутой системы вещественной оси на участке - ∞ - 1.

Критерий Найквиста для астатических систем.

Формулировка критерия при этом не меняется, однако поведение годографа W(j) имеет свои особенности.

Рассмотрим передаточную функцию разомкнутой системы с астатизмом порядка r:

В этом случае

,

годограф W(j) при =0 терпит разрыв и аргумент W(j) при =0 не определен. Действительно, в данном случае формула (70) примет вид

и при =0 второе слагаемое правой части (73) не определено.

Для устранения неопределенности следует следует отнести этот корень либо к левой либо к правой полуплоскости плоскости “p”. Отнесем корень p=0 к левой полуплоскости. Изменим траекторию движения по плоскости “p”, обходя нулевой корень справа по полуокружности бесконечно малого радиуса (при этом рассматривается изменеине  от  до +) (см. рис.61).

Р ис.61.

При движении по контуру С, имеем

,

так что

Такое иземнение движени можно допустить, имея уверенность, что между мнимой осью и контуром С нет нулей ни полинома M(p), ни полинома . Очевидно, это будет в случае, если радиус  достаточно мал.

Рассмотрим поведение годографа W(j) при движении на плосеости “p” по контуру С. Имеем

т.е. при движении на плоскости “p” по контуру с модуль АФЧХ бесконечно большая величина . Определим приращение аргумента W(jw)

При и тогда

Аналогично .

С учетом (74) получим

и окончательно можно записать

Т аким образом , при движении на плоскости “p” по полуокружности с годограф АФЧХ на плоскости “W” может быть представлен точками дуги бесконечно большого радиуса , проходящими путь , соответствующий повороту на угол - r π , где r – порядок астатизма разомкнутой системы . Случай соответствующий r=1 , показан на рис.62. Можно сказать , что

Рис.62

замкнутая система в этом случае устойчива , если характеристическое уравнение разомкнутой САУ не имеет корней в правой полуплоскости плоскости “p”.

На практике , как и для статических систем , обычно строят только половину годографа . При этом годограф W(jw) , построенный для значений w : 0<w<∞ , необходимо дополнить дугой бесконечного радиуса . Эта дуга начинается на положительной полуоси абсцисс , если

Частотный критерий устойчивости по числу пересечений АФЧХ разомкнутой системы вещественной оси на участке - ∞ - 1.

Повторим критерий Найквиста в следующей формулировке. Если характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет e неустойчивых корней , то для того , чтобы была устойчива замкнутая система необходимо и достаточно , чтобы годограф АФЧХ разомкнутой системы W(jw) при изменении w от 0 до ∞ охватывает точку (-1,j₀) e/2 раз .

Обычно W(p) – правильная дробь и при этом при w →∞ , т.е. годограф W(jw) заканчивается в начале координат плоскости “W” . Тогда о числе охватов можно судить по числу переходов годографа W(jw) через отрезок действительной оси (-∞,-1). Будем считать переход сверху вниз этого отрезка положительным , а снизу вверх – отрицательным . Очевидно , что положительный переход сопровождается увеличением ФЧХ разомкнутой системы , а отрицательный ее уменьшением . Обозначим общее число положительных переходов через n⁺ , а отрицательных – через n ^- . Тогда число охватов годографом W(jw) точки (-1, j₀) равно разности между числом положительных и отрицательных переходов этого годографа через отрезок (-∞, -1) действительной оси и формула (72) , выражающая критерий Найквиста , примет вид

(75)

Если при w=0 годограф начинается на рассматриваемом отрезке , то это считается за ½ перехода . Если разомкнутая система имеет астатизм и пересечение отрезка совершается ее пунктирным дополнением , то это пересечение рассматривается как полноценное и принимается в расчет в формуле (75) .

На рис.63 - 65 показаны примеры годографов АФЧХ разомкнутой САУ . Пусть е=0 , т.е. разомкнутая система устойчива . На рис.63 показан годограф статической системы . Здесь е=0 , n⁺ =2 , n ^- =2 и , таким образом , замкнутая система устойчива .

Р ис.63.

Н а рис.64 представлен годограф АФЧХ разомкнутой системы с астатизмом 3 – ого порядка . Если е=0 , то представленный годограф также отвечает устойчивой в замкнутом виде системе .

Рис.64.

Пусть е=2 и годограф W(jw) имеет вид , представленный на рис. .В этом случае n⁺=2, n ^- =1 , условие ( 75) выполняется и замкнутая система устойчива .

Р ис.65.