С.А. Руднев. Теория управления. Конспект лекций. Кафедра “Системы автоматического управления”. Для с / Лекция_19

100

Лекция № 20

Тема: Выделение областей устойчивости.

План лекции:

1. Выделение области устойчивости на плоскости одного параметра.

2. Выделение области устойчивости на плоскости 2 параметров.

Выделение области устойчивости на плоскости одного параметра.

Пусть нас интересует влияние на устойчивость параметра α , линейно входящего в характеристическое уравнение (77) . При этом уравнение (77) можно представить в виде

(79)

где M(p), H(p) – некоторые полиномы .

Чтобы построить области с одинаковым количеством левых корней относительно параметра α необходимо в (77) выполнить подстановку p=jw и задаваясь w ; - ∞<w,+∞ , построить на плоскости α график

В дальнейшем этот график будем называть Д – кривой .

Представив α=x+jy, получим

где

Так как L(w) – четная функция , F(w) – нечетная функция , то Д – кривая на плоскости Д симметрична относительно оси абсцисс . Поэтому можно построить ветвь , соответствующую 0<=w< ∞ и дополнить ее симметричной относительно действительной оси.

Пусть Д-кривая построена и имеет вид, представленный на рисунке 74.

Р ис.74.

В данном случае плоскость Д разбита на 4 области равных количеств левых корней. Возникает вопрос: сколько именно левых корней соответствует каждой области и какая из областей является областью устойчивости.

Для выявления области устойчивости заштрихуем левые стороны мнимой оси плоскости “p” и Д-кривой плоскости Д при движении по ней соответствующем изменению  от - до . После выполнения штриховки не трудно выделить область устойчивости. Для этого нужно учесть, что переходу из одной области плоскости Д в другую, показанному на рисунке 75,

Рис.75.

соответствует переход корня “p” из правой полуплоскости в левую. При переходе на плоскости Д, показанном на рисунке 76, на полскости “p”

Рис.76.

происходит переход корня из левой полуплоскости в правую. Таким образом, если обозначить область 1 как Д_к, область 2 будет областью Д_к+1,3-Д_к+2 и 4-Д_к+3. Областью устойчивости может быть только область 4, если к+3=n, где n - порядок системы. Так ли это проверяется непосредственным применением какого-либо критерия устойчивости к характеристическому уравнению (79), в котором значение параметра  взято из области 4.

Пример. Выполним Д-разбиение по коэффициенту передачи разомкнутой системы, структурная схема которой показана на рис.77.

Р ис.77

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

где . Характеристическое уравнение имеет вид

.

Выполнив подстановку и полагая , получим соотношения

,

з адающие Д-кривую на плоскости Д. Задаваясь значением :-<<, построим эту кривую (см. рис. 78).

Рис.78.

Эта кривая выделяет на плоскости Д 3 области. Областью устойчивости может быть только область 3, она ей и является – это можно непосредственно проверить. Таким образом, области 3 соответствует 3 левых корня характеристического уравнения, области 2-2таких корня и области 1 – 1такой корень. При ситуация, когда все корни характеристического уравнения расположены в правой полуплоскости плоскости “p” невозможна – такой области нет в области Д-разбиения, это легко показать и непосредственным анализом характеристического уравнения.

Выделение области устойчивости на плоскости 2 параметров.

Предположим, что имеются 2 параметра  и , влияние которых на устойчивость требуется оценить. Будем считать, что эти параметры входят в характеристическое уравнение

линейно.

Подставляя в () , получим

,

откуда

(81)

Зависимости () задают Д-кривую на плоскости (,). Штриховка на плоскости 2 параметров производится по следующему правилу. Перемещаясь вдоль Д-кривой в сторону увеличения  нужно штриховать ее с левой стороны, если определитель

положителен и справа, если этот определитель отрицателен. Дальнейшие рассуждения остаются такими же, что и для случая Д-разбиения по одному параметру.

Пример. Рассмотрим туже следящую систему, что и в редыдущем примере и выполним для нее построение области устойчивости на плоскости двух параметров: коэффициента передачи К и постоянной времени T₁. Имеем

откуда

Решая это уравнение относительно k,T₁, имеем

Задаваясь различными значениями , строим Д-кривую (см. рис.79 )

Рис.79

Определим направление штриховки. Имеем

Определитель равен

.

При движении по Д-кривой снизу вверх (<0) определитель положителен, штриховка наносится слева по ходу движения, при движении по Д-кривой сверху вниз (>0) определитель отрицателен и штриховка наносится справа. Таким образом снизу от кривой получается двойная штриховка.

Область устойчивости определяется двумя координатными положительными полуосями и полученной Д-кривой.