Приклади розв’язання заданих задач Фрагмент розв’язку задачі 9.1.0

Задача Коші: y’(t)=2ty, t0=0, T=1, y(0)=1.

Вихідні дані:

Права частина:

Початкове значення:

Кінці відрізка:

Крок сітки:

Число вузлів сітки:

Функція, що реалізує явний метод Ейлера; повертає вектор розв'язку:

Вхідні параметри:

f - функція правої частини;

y0 - початкове значення;

t0 - початкова крапка відрізка;

h - крок сітки;

N - число вузлів сітки.

Обчислення розв'язку по методу Ейлера:

Обчислення розв'язку по методу Рунге- Кутти 4 порядку точності:

вхідні параметри:

y - вектор початкових значень;

t0- початкова крапка відрізка;

T - кінцева крапка відрізка;

N - число вузлів сітки;

f - функція правої частини. Функція rkfіxed повертає матрицю, перший стовпець якої містить вузли сітки, а другий - наближений розв'язок у цих вузлах.

Точний розв'язок:

Точний розв'язок у вузлах сітки:

Розв'язок по метод Ейлера Розв'язок по метод Рунге- Кутти Точний розв'язок

Графіки наближених і точного розв'язків

Обчислення похибки за правилом Рунге:

Обчислення наближених розв'язків із кроком h/2:

Обчислення похибок:

Фрагмент розв’язку задачі 9.2.0

Вихідні дані:

Крок сітки:

Число вузлів сітки:

Формування вектора правої частини системи ЗДР і вектора початкових умов для застосування вбудованої функції rkfіxed:

Графік розв'язку

Правило Рунге практичної оцінки похибки (правило подвійного перерахування):

, где , i=1, … , N, p – порядок методу, а обчислення ведуться у вузлах сітки .

Уточнений розв'язок обраховується по формулі:, i=1,…, N.

Розрахункові формули методів РОЗВ’ЯЗКУ задачі Коші для ЗДР 1 порядку:

Метод розкладання по формулі Тейлора 2 Порядку:

Модифікований метод Ейлера 2 порядку:

Метод Рунге-Кутти 3 порядку I: , , ,

Метод Рунге-Кутти 3 порядку II: , , ,

Метод Рунге-Кутти 3 порядку III: , , ,

Экстраполяційний метод Адамса 2 порядку:

Экстраполяційний метод Адамса 3 порядку:

Экстраполяційний метод Адамса 4 порядку:

Сведение ЗДР 3 порядку к системе ЗДР 1 порядку (для задачі 4):

, ,.

Умова стійкості явного методу Ейлера для системи ЗДР 1 порядку з постійними коефіцієнтами :

, где , i=1, …, n, – власні числа матриці M порядку n.

Контрольні питання

1. Постановка задачі Коші. Дискретне завдання Коші: основні поняття й визначення (сітка, сеточние функції, численний метод, апроксимація, збіжність).

2. Методи рядів Тейлора розв'язку задачі Коші.

3. Численні методи розв'язку задачі Коші : вивод формули методу Ейлера, його геометрична інтерпретація, стійкість, оцінка похибки, вплив обчислювальної похибки.

4. Модифікації методу Ейлера другого порядку точності: вивід розрахуваних формул, геометрична інтерпретація методів. Оцінка похибки.

5. Методи Рунге- Кутті. Вивід формул. Оцінка похибки.

6. Явние одношаговие методи. Локальна й глобальна похибки. Оцінка похибки за правилом Рунге. Організація программи з автоматичним вибором кроку.

7. Розв'язок задачі Коші для систем дифференциальних рівнянь. Завдання Коші для рівняння m- го порядку.

8. Апроксимація, стійкість і збіжність численних методів розв'язку задачі Коші.

9. Неявний метод Ейлера.

10. Многошаговие методи. Вивод формул явного методу Адамса- Башфорта. Многошаговие методи. Вивод формул неявного метода Адамса-Моултона.

11. Тверді задачі й методи їх розв'язку.

12. Застосовуючи метод Ейлера , знайти розв'язок задачі Коші , у три послідовних точках:.

13. Для задачі Коші один крок довжини 0.1 за методом Ейлера-Коші і оцінити похибку знайденого значення за правилом Рунге.

14. Методом Рунге- Кутти 2 порядку точності знайти розв'язок системи дифференциальних рівнянь у дві послідовних точках , .

15. Оцінити похибку апроксимації похідній різністним відношенням .

16. Звести рівняння 2 порядку до системи рівнянь 1 порядку й скласти розрахункові формули методу прогнозу й корекції для розв'язку отриманої системи рівнянь. , .

17. З'ясувати, чи апроксимують методи a) b) перше рівняння задачі Коші (*)

19. Вивести формулу методу рядів Тейлора другого порядку точності для розв'язання задачі Коші .

20. Вивести формули методу Рунге- Кутті першого порядку точності для розв'язання задачі Коші.

21. Для неявного методу Ейлера для розв'язання задачі Коші записати розрахункові формули методу Ньютона.