Контрольні питання

1. Найпростіші квадратурні формули (формули правих, лівих, центральних прямокутників, формула Трапецій, формула Сімпсона), геометрична ілюстрація, оцінки похибки. Точність квадратурних формул.

2. Квадратурні формули інтерполяційного типу: вивід формул, оцінки похибки.

3. Квадратурні формули Гаусса: вивід формул, точність формул.

4. Правило Рунге практичної оцінки похибки. Адаптивні процедури чисельного інтегрування.

5. Обчислити наближенно з кроком h=1 інтеграл по формулі: a) правих прямокутників, b) лівих прямокутників, c) центральних прямокутників, d) Трапецій, e) Сімпсона. Оцінити похибку на основі теоретичної оцінки похибки.

6. Впевнитись в тому, що формула центральних прямокутників точна для многочленів , а формула Сімпсона – для многочленів .

7. Оцінити теоретичне значення кроку інтегрування h для наближенного обчислення інтегралу по формулі Трапецій з точностю .

8. Оцінити теоретично значення кроку інтегрировання h для наближенного обчислення інтегралу по формулі Сімпсона з точностю .

9. Отримати квадратурні формули центральних прямокутників і Трапецій із загальної формули інтерполяційного типу.

10. Впевнитися в тому, що квадратурна формула Гаусса з одним вузлом точна для многочленів .

11. Обчислити наближено інтеграл по формулам Трапецій і Сімпсона з точністю , використовуючи правило Рунге практичної оцінки похибки.

12. Знайти оцінку похибки Обчислення інтегралу по составній формулі

13. Оцінити мінимальне число разиттів відрізка інтегрирування N для наближеного обчислення інтегралу по составній формулі Трапецій, яке забезпечує точність .

14. Побудувати квадратурні формули Чебишева на відрізку [-1,1] для обчислення для n=2,3,4.

Комп’ютерний практикум 9

Тема: Чисельний розв’язок задачі Коші.

Мета роботи: Оволодіти необхідними навичками для розв’язання задачі Коші різними методами. Оцінити похибки розв’язків однокрокових і багатокрокових методів.

Теоретичні відомості

Правило Рунге практичної оцінки похибки (правило подвійного перерахування):

, де , i=1, … , N, p – порядок методу, а обчислення ведуться у вузлах сітки .

Уточнений розв'язок обчислюється по формулі:, i=1,…, N.

Постановка задачи. Знайти приблизні значення розвязку звичайного диференціального рівняння (ЗДР) навідрізку з кроком з начальною умовою

Розрахункові формули методів розв'язку задачі Коші для ЗДР 1 порядку:

Метод розкладання по формулі Тейлора 2 порядку:

Модифікований метод Ейлера 2 порядку:

Метод Рунге-Кутти 3 порядку I: , , ,

Метод Рунге-Кутти 3 порядку II: , , ,

Метод Рунге-Кутти 3 порядку III: , , , Метод Рунге-Кутта четвертого порядка ,

Экстраполяційний метод Адамса 2 порядку:

Экстраполяційний метод Адамса 3 порядку:

Экстраполяційний метод Адамса 4 порядку:

Зведення ЗДР 3 порядку до системи ЗДР 1 порядку (для задачі 4):

, ,.

Умова стійкості явного методу Ейлера для системи ЗДР 1 порядку з постійними коефіцієнтами :

, где , i=1, …, n, – власні числа матриці M порядку n.