В.В.Воробьев. Теория управления. Нелинейные системы автоматического регулирования и управления. Конс / лекции13,14

ЛЕКЦИЯ 13, 14. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации.

План.

1. Особенности гармонической линеаризации нечетно – симметричных однозначных и петлевых нелинейностей.

2. Исследование кубической нелинейности.

3. Исследование петлевой релейной характеристики.

4. Исследование однозначных релейных характеристик.

5. Исследование характеристики с зоной нечувствительности, линейным участком и насыщением.

6. Вычисление коэффициентов гармонической линеаризации для случая несимметричных колебаний.

Проиллюстрируем вычисление коэффициентов гармонической линеаризации на нескольких примерах: сначала для симметричных колебаний, а затем для несимметричных. Предварительно заметим, что если нечетно-симметричная нелинейность F(x) однозначна, то, согласно (4.11) и (4.10), получаем

причем при вычислении q (4.11) можно ограничиться интегрированием на четверти периода, учетверив результат, а именно

Для петлевой нелинейности F(x) (нечетно-симметричной) будет иметь место полное выражение (4.10)

причем можно пользоваться формулами

т. е. удвоением результата интегрирования на полупериоде.

Пример 1. Исследуем кубическую нелинейность (рис. 4.4, я):

Зависимость q(a) показана на рис. 4.4, б. Из рис. 4.4, а видно, что при заданной амплитуде я прямая q(a)x осредняет криволинейную зависимость F(x) на данном

Рис. 4.4.

участке -а х .а. Естественно, что крутизна q(a) на­клона этой осредняющей прямой q{a}x увеличивается с увеличением амплитуды а (для кубической характе­ристики это увеличение происходит по квадратичному закону).

Рис. 4.5.

Пример 2. Исследуем петлевую релейную характе­ристику (рис. 4.5, а). На рис. 4.5,6 представлена подын­тегральная функция F(a sin ) для формул (4.21). Переключение реле имеет место при х= b, Поэтому в момент переключения величина 1 определяется выражением sin 1= b/а. По формулам (4.21) получаем (для a b)

На рис. 4.5, б изображены графики q(а) и q'(a). Первый из них показывает изменение крутизны наклона осредняющей прямой q(а)x с изменением а (см. рис. 4.5, а). Естественно, что q(a)0 при а при, так как сигнал на выходе остается постоянным (F(x)=c) при любом неограниченном увеличении входного сигна­ла х. Из физических соображений ясно также, почему q' <0. Это коэффициент при производной в формуле (4.20). Положительный знак давал бы опережение сиг­нала на выходе, в то время как гистерезисная петля дает запаздывание. Поэтому естественно, что q' < 0. Абсолют­ное значение q' уменьшается с увеличением амплиту­ды a, так как ясно, что петля будет занимать тем мень­шую часть «рабочего участка» характеристики F(x), чем больше амплитуда колебаний переменной х.

Амплитудно-фазовая характеристика такой нелиней­ности (рис. 4.5, а), согласно (4.13). представляется в виде

причем амплитуда и фаза первой гармоники на выхода нелинейности имеют соответственно вид

где q и q' определены выше (рис. 4.5, б). Следовательно, гармоническая линеаризация переводит нелинейное ко­ординатное запаздывание (гистерезисную петлю) в экви­валентное запаздывание по фазе, характерное для ли­нейных систем, по с существенным отличием—зависи­мостью фазового сдвига от амплитуды входных колеба­ний, чего нет в линейных системах.

Пример 3. Исследуем однозначные релейные ха­рактеристики (рис. 4.6, а, в). Аналогично предыдущему получаем соответственно

что изображено на рис. 4.6, б, а.

Рис. 4.6.

Пример 4. Исследуем характеристику с зоной нечувствительности, линейным участком и насыщением (рис. 4.7, а). Здесь q' = 0, а коэффициент q(a) имеет два варианта значений в соответствии с рис. 4.7, б, где для них построена F (a sin ):

1) при b1  а  b2, согласно (4.19), имеем

что с учетом соотношения a sin 1 = b1 дает

Рис. 4.7.

2) при а  b2

что с учетом соотношения a sin 2 = b2 даёт

Графически результат представлен на рис. 4.7, а.

Рис. 4.8.

Пример 5. Как частные случаи, соответствующие коэффициенты q(a) для двух характеристик (рис. 4,8, а, б) равны

что изображено графически на рис. 4.8, б, г. При этом для характеристики с насыщением (рис. 4.8, а) имеем q= k при 0  a  b.

Покажем теперь примеры вычисления коэффициен­тов гармонической линеаризации для несимметричных колебаний при тех же нелинейностях.

Пример 6. Для случая кубической нелинейности F(x) = kx³ по формуле (4.16) имеем

а по формулам (4.17)

Пример 7. Для петлевой релейной характеристики (рис. 4.5, а) по тем же формулам имеем

Пример 8. Для характеристики с зоной нечувстви­тельности (рис. 4.1:1) будут иметь место те же выраже­ния F° и q. Графики их представлены на рис. 4.9, а, б. При этом q' == 0. Для идеальной же релейной характе­ристики (рис. 4.10) получаем

что изображено на рис. 4.10, а и б.

Рис. 4.9.

Пример 9. Для характеристики с линейным участ­ком ц насыщением (рис.4.11,а) при а  b+x⁰ имеем

Рис. 4.10.

Эти зависимости представлены в виде графиков на рис. 4.11, б, в.

Пример 10. Для несимметричной характеристики

(рис. 4. 12, а) по формуле (4.l6) находим

а по формулам (4.17)

Результаты изображены графически на рис. 4.12, б и в.

Рис.4.11.

Полученные в этих примерах выражения и графики коэффициентов гармонической линеаризации будут ис­пользованы ниже при решении задач по исследованию

Рис. 4.12.

автоколебаний, вынужденных колебаний и процессов управления.