В.В.Воробьев. Теория управления. Нелинейные системы автоматического регулирования и управления. Конс / ЛЕКЦИЯ5

ЛЕКЦИЯ 5. Переходные процессы и автоколебания релейной системы.

План.

1. Уравнения динамики системы с релейной характеристикой общего вида.

2. Многолистная фазовая плоскость. Линии переключения. Отрезок состояний равновесия.

3. Уравнения фазовых траекторий на разных листах.

4. Фазовый портрет релейной системы.

5. Частные случаи релейной характеристики.

В данной главе исследование переходных процессов на фазовой плоскости иллюстрируется на примерах общего характера, выявляющих основные отличительные особенности процессов в нелинейных автоматических си­стемах.

Рассмотрим систему с релейной характеристикой общего вида. Уравнение динамики объекта (рис. 2.1, а) имеет вид

,а уравнение регулятора

где F(x)— релейная характеристика (рис. 2.1,6). Общее

Рис. 2.1.

уравнение динамики системы найдем, если продифферен­цируем уравнение (2.1) и затем подставим в него (2.2). В результате получим выражение

которое можно представить в виде

Отсюда получим дифференциальное уравнение фазовых траекторий

Как видно из заданной характеристики (рис. 2.1,6), нелинейную функцию F(x) можно описать следующим образом:

если у = dx/dt > 0, то

если у == dx/dt < 0, то

В связи с этим на фазовой плоскости (х,у) можно вы­делить три области: (1) F(x)= -с; (2) F(x)=0; (3) F(x) = +с. Эти три области разделены прямыми (на рис. 2.2 они показаны штриховой линией), которые называются линиями переключения.

Такую фазовую плоскость называют многолистной. На каждом листе (1, 2, 3) получится свой вид фазовых траекторий. По линиям переключения эти листы «сшива­ются». Фазовые траектории непрерывно переходят с одного листа на другой (за исключением некоторых особых случаев, где они встречаются).

В области 1 (F(x)= -с) уравнение (2.4) принимает вид

Проинтегрировав его, получим уравнение фазовых траек­торий в области 1:

Фазовые траектории имеют асимптоту у=k1С, к ко­торой они стремятся при неограниченном увеличении х. Такие фазовые траектории изображены в области 1 на рис. 2.2. Направление их определяется в соответствии с рассмотренным выше правилом (лекция 2, рис. 1.9).

Рис. 2.2.

В области 2 (F(x)=0) уравнение (2.4) примет вид

Фазовые траектории - прямолинейные отрезки (см. об­ласть 2 на рис. 2.2).

Наконец, в области 3 (F (х)= +с) уравнение (2.4) примет вид

откуда, аналогично (2.5), уравнение фазовых траекторий будет

Фазовые траектории в области 3 стремятся к асимптоте у= -k1C при уменьшении х (на рис. 2.2).

В целом фазовые траектории принимают спиралевид­ную форму. Это соответствует затухающим колебатель­ным процессам.

Рис. 2.3.

Однако колебательный процесс за­тухает не до нуля, а до некоторого произвольно­го значения (рис. 2.2, 2.3) в интервале –b1<х < b1, у= 0, т.е. внутри зоны нечувстви­тельности реле (рис.2.1,б). Таким образом, вместо особой точки здесь полу­чается особый отрезок равновесных состояний, показан­ный утолщенной линией на рис. 2.2. По какой из фазо­вых траекторий пойдет переходный процесс в системе, определяется начальными условиями х(to), у (to).

Рис. 2.4.

Рассмотрим теперь частные случаи.

В случае релейной характеристики с зоной нечувст­вительности без петель (рис. 2.4, а) картина фазовых траекторий будет аналогична изображенной на рис. 2.2, с той разницей, что теперь b1= b2= b , т. е. линии пере­ключения будут прямыми без излома на оси х. В случае чисто петлевой гистерезисной релейной ха­рактеристики (рис. 2.4,6) будет отсутствовать область 2 (рис. 2.2).

В этом случае имеем

когда

когда

Этим определяются линии переключения (штриховые линии на рис. 2.5). Слева от них строим фазовые траек­тории по уравнению (2.5), а справа — по уравне­нию (2.6). Это и показа­но на рис. 2.5. Поскольку ясно видно, что снаружи фазовые траектории обра­зуют сходящиеся спирали, а изнутри расходя­щиеся, то где-то среди них должен быть предельный цикл, к которому они все сходятся. Он выделен утолщенной замкнутой линией (рис. 2.5). Это устойчивый предельный цикл, отвечающий автоко­лебаниям. Амплитуда их определяется точкой пе­ресечения предельного цикла с осью х. Физически такое решение оправдано, ибо в соответствии с нелинейной ха­рактеристикой (рис. 2.4, б) реле не имеет равновесного состояния. Автоколебания происходят около петли реле с амплитудой, несколько превышающей половину ширины петли b.

Рис. 2.5.

Установившийся режим работы такой системы авто­матического регулирования является автоколебательным. Так работают, например, вибрационные регуляторы напряжения сети постоянного тока. Параметры системы должны быть выбраны так, чтобы амплитуда и частота автоколебаний находились в допустимых пределах.