В.В.Воробьев. Теория управления. Нелинейные системы автоматического регулирования и управления. Конс / лекция28_29

НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С КОРРЕКЦИЕЙ

ЛЕКЦИЯ 28, 29. Линейная коррекция нелинейных систем.

План.

1. Постановка задачи синтеза нелинейной системы.

2. Нормированный коэффициент гармонической линеаризации.

3. Методика синтеза корректирующего устройства.

4. Пример нелинейной системы с коррекцией.

В этой главе рассматривается задача синтеза нелинейных систем не в смысле оптимизации, а как задача введения в заданную систему дополнительных устройств (корректирующих) для удовлетворения предъявляемым к системе техническим требованиям.

Для достижения требуемой точности и качества процесса в нелинейные системы можно вводить линейные корректирующие устройства такие же, как и в линейных системах (см. [23]). Эти линейные корректирующие устройства могут быть последовательными (с введением производных, интегралов и т. п.) и параллельными (в виде местных обратных связей различного типа).

Рассмотрим системы с одной нечетно-симметричной однозначной нелинейностью F(х), гармоническая линеаризация которой имеет вид

F(x)=q(a)x, (7.1)

где коэффициент гармонической линеаризации принимает ограниченные значения

К такого типа нелинейностям относятся, например, нелинейности, изображенные на рис. 1.1, а, б, г, д, е и рис. 1.2, б, в. Более сложные случаи рассматриваются в книге [19].

Случаи наличия нелинейностей вида рис. 1.2, а и рис. 1.5, а, когда коэффициент q(a) принимает бесконечное значение при а = 0, здесь не рассматриваются, так как в этих случаях невозможно обеспечить устойчивое равновесное состояние системы в нулевой точке и установившийся режим будет автоколебательным. В этих случаях путем введения линейных корректирующих устройств можно добиваться приемлемых значений параметров (а, ) автоколебаний. Но это следует делать с помощью методов расчета автоколебаний, изложенных выше. Здесь мы будем рассматривать точность и качество процессов около устойчивого равновесного состояния в нулевой точке.

Пусть схема системы имеет вид, изображенный на рис. 7.1. Положим, что линейное корректирующее уст­ройство любого типа вводится в одну из линейных частей,

Рис. 7.1.

т. е. в блок W1(s) или W2(s), не охватывая нели­нейного звена F(x). Условимся в формуле гармониче­ской линеаризации (7.1) записывать

где k — коэффициент усиления (его определение для различных нелинейностей показано на рис. 1.1). Тогда выражение q0(а) можно получить, согласно лекции 13, 14 в виде

Например, для кубической нелинейности из (4.22) имеем

а для характеристики с насыщением (рис. 4.8, в), соглас­но (4.28), получаем

Указанный в формуле (7.3) коэффициент k будем относить к передаточной функции линейной части систе­мы, Так, для схемы рис, 7,1 передаточную функцию такой приведенной линейной части будем записывать в виде

где k - коэффициент, выделенный из нелинейности согласно (7.3).

Соответственно в случае релейной характеристики (рис. 1.2, б) в качестве величины k примем значение qmax

В этом случае, согласно формулам (7.3), (7.5) и (4.23), получим

Величину q0(а) будем называть нормированным коэффициентом гармонической линеаризации. Тогда синтез корректирующего устройства можно производить следую­щим образом.

1. Строится логарифмическая амплитудная частотная характеристика первоначально заданной приведенной ли­нейной части системы:

где k — коэффициент усиления, перенесенный из нели­нейности.

2. Формируется желаемая логарифмическая ампли­тудная частотная характеристика линейной части Wж(s) в соответствии с требованиями точности и качества про­цессов, как это изложено в теории линейных систем.

3. Синтезируется линейное корректирующее устрой­ство также методом линейной теории.

4. Вычерчивается логарифмическая фазовая частот­ная характеристика полученной скорректированной ли­нейной части системы.

В дополнение ко всем этим операциям, выполняемым по линейной теории, добавляется еще один пункт, учи­тывающий нелинейность F(x) в нормированном виде.

5. Для данной нелинейности с использованием норми­рованного коэффициента q0(a) строится «запретная» зона, соответствующая желаемому показателю колебательности М. Внутрь этой зоны не должна заходить фазовая частотная характеристика скорректированной линейной части системы. Та кривая М = const, которой касается полученная фазовая характеристика, определяет значение показателя колебательности данной скорректированной системы. Если необходимо его уменьшить, то нужно несколько изменить параметры полученного выше линейного корректирующего устройства, следя за тем, чтобы не допускать существенного искажения желаемых свойств логарифмической амплитудной частотной характеристики приведенной линейной части, положенных первоначально в основу расчета.

Этот пятый пункт процедуры синтеза в совокупности с предыдущими обеспечивает нужные качества процессов в замкнутой нелинейной системе в целом. Следовательно, прежде чем приступать к синтезу линейного корректирующего устройства в нелинейной системе, необходимо научиться строить запретную зону по показателю колебательности при заданной нелинейности. Такое построение может производиться методом гармонической линеаризации, поскольку речь идет о колебательных переходных процессах.

Рассмотрим методику этого построения. Ограничиваясь рассмотрением однозначных нелинейностей (7.1) с ограниченными значениями коэффициента гармонической линеаризации (7.2) и используя его нормирование (7.3), получим следующее выражение для передаточной функции разомкнутой цепи гармонически линеаризованной системы:

Передаточная функция замкнутой системы примет вид

Выделим вещественные и мнимые части после заме­ны s = j, обозначив их следующим образом:

Тогда для показателя колебательности М = Ф(j, a) имеем выражение

Отсюда после преобразования получаем уравнение линии равных значений М на комплексной плоскости (U, V) в виде

где

При определенном значении q0 линии М = const по­лучают вид окружностей. Но согласно (7.2) и (7.3) ве­личина q0 может принимать любое значение в интервале

0  q0(a)  q0 m или q0 н  q0(a)  q0 m (7.9)

где числа q0 н и q0 m получают свои определенные значе­ния для каждой конкретной нелинейности. В соответствии с этим, согласно (7.8), координата центра окружно­сти U0 и радиус R будут тоже меняться в определенных

Рис. 7.2.

для каждой нелинейности пределах. Следовательно, каж­дая линия М = const будет определяться как огибающая непрерывного множества постепенно меняющихся окружностей. При этом в случае первого неравенства (7.9) линия М=const будет незамкнутой (рис. 7.2, а), так как в начальной точке q0 = 0 из (7.8) имеем U0 =, R = . Показанные на рис. 7.2, а величины R1 и U1, согласно (7.8), определяются выражениями

В случае второго неравенства (7.9) линия M = const бу­дет замкнутой (рис. 7.3, а), причем

а значения R1 и U1 прежние.

Рис. 7.3.

Поскольку синтез линейного корректирующего уст­ройства проводится по логарифмическим частотным ха­рактеристикам, то изображенные на рис. 7.2, а и рис. 7.3, а

Рис.7.4.

линии М = const (запретные зоны) должны быть перенесены в систему координат ло­гарифмических характе­ристик. Это показано соот­ветственно на рис. 7.2, б и рис. 7.3, б.

Взяв разные постоян­ные значения М(М1, М2,М3,…), получим серию кривых М = const (рис. 7.4).

Логарифмические частотные характеристики скорректиро­ванной по изложенной выше процедуре системы должны быть такими» чтобы фазовая характеристика линейной

Рис. 7.5.

Рис. 7.6.

части () не заходила внутрь запретной зоны, определяемой допустимым значением показателя колебательности М (рис. 7.5).

Если расчет корректирующего устройства ведется по амплитудно-фазовым частотным характеристикам, то поле координат (U, V) получается серия кривых M = const (рис. 7.6, а), причем амплитудно-фазовая частотная характеристика приведенной линейной части скорректированной системы не должна заходить внутрь запретной зоны, определяемой здесь допустимым значением показателя колебательности М (рис. 7.6, б).

Пример. Пусть имеется два варианта (рис. 7.7, а и б) нелинейности F(x) в системе, изображенной на рис. 7.1. Передаточные функции линейных звеньев (рис. 7.1) заданы в виде

Следовательно,

Заданы Т1 = 0,01, Т2 = 0,04, а величину kл можно изменять.

Рис. 7.7.

Крутизна наклона линейных отрезков нелинейной характеристики определяется коэффициентами k3 и k4.

Рис. 7.8.

причем в первом случае (рис. 7.7, a) k3 = 1, k4 = 2, а во втором случае (рис. 7.7, б) k3 = 1, k4 = 0,5. Здесь нелинейность представлена уже в нормированном виде, поскольку k3 = 1. Поэтому тут q0(a) = q(а). Очевидно, что коэффициент q(a) меняется в пределах между k3 и k4 т. е. в первом и втором случаях соответственно име­ем 1  q0(а)  2; 0,5  q0(a)  1. Линия М = const будет иметь вид, представленный на рис. 7.3, где, согласно

Рис. 7.9.

(7.10) и (7.11), для первого случая (рис. 7.7, а)

а для второго (рис. 7.7, б)

Придавая М разные значения, получаем кривые, по­казанные на рис. 7.8, а и б соответственно для первого и второго случаев. Там же нанесены амплитудно-фазовые характеристики линейной части для трех разных значений kл. Из этих графиков видно, что по сравнению с чисто линейной системой в первом случае (рис. 7.8, а) за счет нелинейности запретная зона выпучивается впра­во а во втором (рис. 7.8. б) - влево. Следовательно, в первом случае за счет нелинейности повышается коле­бательность системы, а во втором - нет. Интересно так­же отметить то, что автоколебания в нелинейной систе­ме определяются (см. лекцию 17) условием

Правая часть этого равенства изображается графиче­ски отрезками вещественной оси соответственно для пер­вого и второго случаев:

-1  U  -0,5,

-2 U  -1. Линейная же система устойчива, если кривая W (j) пересекает вещественную ось правее точки -1. Следова­тельно, во втором случае область устойчивости нелиней­ной системы сохраняется, как в линейной системе, а ав­токолебания возникают уже за ее пределами. В первом же случае область устойчивости системы за счет нели­нейности сужается, и автоколебания возникают там, где линейная система была бы устойчива.

На рис. 7.9 это показано графически: а) для первого случая, б) для второго случая, в) для чисто линейной системы.