В.В.Воробьев. Теория управления. Нелинейные системы автоматического регулирования и управления. Конс / ЛЕКЦИЯ2

ЛЕКЦИЯ 2. Фазовое пространство и фазовая плоскость.

План.

1. Метод фазового пространства.

2. Правило для направления движения по фазовым траекториям.

3. Затухающий колебательный процесс.

4. Расходящийся колебательный процесс.

5. Периодический процесс.

6. Монотонный затухающий (расходящийся) процесс.

При составлении уравнений динамики нелинейной системы все звенья, поддающиеся линеаризации в пределах малых отклонений координат, описываются линейны­ми уравнениями. Для одного или двух (реже — несколь­ких) существенно нелинейных звеньев этой системы составляются нелинейные уравнения (или используются нелинейные характеристики). В общем случае нелиней­ные дифференциальные уравнения динамики в нормаль­ной форме имеют вид

где Хi, (г = 1, 2, ..., n) —координаты состояния системы, g(t), f(t)—соответственно задающие и возмущающие воздействия, или в векторной записи

Для рассмотрения переходных процессов, вызванных какими-либо начальными отклонениями координат (при отсутствии внешних воздействий) эти уравнения для систем с постоянными параметрами (т.е. для стационарных систем) принимают вид:

(1.1)

Рис. 1.6.

Примечание: на рисунке 1.6 координатные оси х ₃,…,х _n n-мерного пространства условно совмещены в одну ось.

А в векторной форме:

Для исследования нелинейных систем широко исполь­зуется метод фазового пространства, который состоит в следующем. Представим себе n-мерное пространство ко­ординат состояния системы (x1,x2,…xn) (рис 1.6) ^*), называемое фазовым пространством. Тогда начальное со­стояние системы x(to) изобразится определенной точкой М0 с координатами x1(to),x2(to), ...,хn(tо), а процесс во времени, т. е. решение уравнений (1.1)

получит изображение в виде некоторой кривой (рис. 1.6),

которая называется фазовой траекторией данной системы. Текущая точка М на ней, соот­ветствующая состоянию систе­мы в произвольный момент вре­мени t, называется изображаю­щей точкой. Отметим, что зна­чения нелинейных функций - , стоящих в уравнениях (1.1) справа, определяют в каждый момент времени проекции, скорости и изображающей точ­ки М на оси координат хi,.

Если в многомерном фазовом пространстве мы лишь мысленно можем представить себе геометрическую карти­ну, то, например, для системы второго порядка (п = 2)

Рис. 1.8.

можно реально изображать фазовые траектории на пло­скости (рис. 1.7). При этом можно изобразить и интег­ральную кривую для данной системы, добавив ось вре­мени t (рис. 1.8).

Уравнения (1.1) при n=2 принимают вид

Дифференциальное уравнение фазовой траектории полу­чается путем исключения времени из системы уравне­ний (1.3):

Точки равновесного состояния системы определяются ну­левыми значениями скорости dx1/dt=0, dx2/dt=0; следовательно,

что создает неопределенность правой части уравнения (1.4). Поэтому точки равновесного состояния системы яв­ляются так называемыми особыми точками на фазовой плоскости.

Сопоставим изображение переходного процесса в

Рис. 1.9.

виде фазовых траектории на плоскости у(х) с обыч­ным его изображением в виде кривой x(t). Для удобства положим, что уравнения (1.3) имеют более простой вид:

т. е. координата у, откла­дываемая по оси ординат фазовой плоскости, пред­ставляет собой скорость изменения координаты х, откладываемой по оси

абсцисс. В этом случае для изображающей точки спра­ведливо следующее

Правило для направления движения по фазовый тра­екториям:

а) а верхней полуплоскости (рис. 1.9)— слева направо, т.е. в сторону увеличения х, так как там скорость у > 0;

б) в нижней полуплоскости, наоборот,— справа налево;

в) ось х пересекается фазовыми траекториями- под прямым углом, так как там скорость у = 0, т. е. имеет место максимум или минимум величины х.

Рис. 1.10.

Заметим, что это правило недействительно в общем случае уравнения (1.3).

Рассмотрим сначала затухающий колебательный про­цесс x(t) (рис.1.10, а). На фазовую плоскость (рис. 1.10, б), где у == dx/dt, нанесем отмеченные на кри­вой переходного процесса точки А, В, С, ..., в которых х имеет либо максимум, либо нуль, либо минимум. В ре­зультате получим, что затухающий колебательный про­цесс изображается на фазовой плоскости в виде сходя­щейся спиралевидной кривой.

Аналогично расходящийся колебательный процесс (рис. 1.11, а) изобразится па фазовой плоскости в виде расходящейся спиралевидной кривой (рис. 1.11, б).

Очевидно, что периодический процесс (рис. 1.12, а) изобразится на фазовой плоскости в виде замкнутой кри­вой (рис. 1.12, б). За один период колебаний изображаю­щая точка М пробегает весь замкнутый контур, а затем повторяет движение по нему.

Монотонный затухающий процесс x(t) (рис. 1.13, а) изобразится на фазовой плоскости в виде кривой, мо­нотонно приближающейся к положению равновесия

Рис. 1.11.

Рис. 1.12.

Рис. 1.13.

(рис. 1.13, б), а монотонный расходящийся процесс (рис. 1.14, а)—в виде монотонно удаляющейся кривой (рис. 1.14, б).

Удобство представления процесса в виде фазовых траекторий на плоскости состоит в том, что вся совокупность

Рис. 1.14.

возможных форм переходных процессов в системе при любых начальных условиях представляется в виде единого «фазового портрета». Недостатком же является то, что мы вынуждены при атом ограничиваться рассмот­рением лишь систем второго порядка. Для исследования нелинейных систем более высокого порядка будут приме­нены другие методы.

* Рис. 1. 7.