В.В.Воробьев. Теория управления. Нелинейные системы автоматического регулирования и управления. Конс / ЛЕКЦИЯ6

ЛЕКЦИЯ 6. Система со скользящим процессом.

План.

1. Уравнения, описывающие систему и её фазовые траектории.

2. Построение фазового портрета системы.

3. Понятие скользящего процесса и его описание.

4. Инвариантность по отношению к параметрам прямой цепи.

5. Определение границ отрезка скольжения.

Проиллюстрируем понятие скользящего процесса на простом примере.

Рис. 2.6.

Пусть задана система автоматического регулирования (рис.2.6), уравнения динамики которой имеют вид

Эти уравнения можно представить в виде

Дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

Линия переключения на фазовой плоскости (х,у), следовательно, описывается уравнением

Она показана на рис. 2.7. Справа от этой линии х+kос>0. Поэтому уравнение фазовых траекторий (2.8) примет вид

откуда

Таким образом, фазовые траектории — это параболы, ветви которых направлены в отрицательную сторону оси х. Положение вершины параболы определяется произ­вольной постоянной С1, т. е. начальными условиями пере­ходного процесса х(to), у(to).Эти параболы изображены

Рис. 2.7.

на рис. 2.7 справа от линии переключения. Направление движения изображающей точки М по параболам опреде­ляется прежним правилом (стр. 15, 16, рис. 1.9).

Слева от линии переключения х+kосу<0, и урав­нение фазовых траекторий (2.8) имеет вид

Эти параболы также изображены на рис. 2.7 слева от линии переключения. Видно, что на отрезке линии пере­ключения АВ фазовые траектории встречаются, упираясь в этот отрезок. Это можно расшифровать следующим об­разом. Пусть процесс идет по фазовой траектории 1 (рис. 2,8). Как только фазовая траектория пересечет линию переключения ОА, вступит в своп права фазовая траектория 2, которая вернет процесс к отрезку ОА. По тут встретится фазовая траектория 3 и т. д. В результа­те изображающая точка путем вибраций около линии переключения переместится к началу координат О.

Рис. 2.8.

Такой ход процесса соответствует переключениям релейного эле­мента (рис. 2.6, б) с большой частотой. Тео­ретически частота пере­ключения бесконечна, а амплитуда вибра­ций, изображенных на рис. 2.8, стремится к нулю. Следовательно, теоретически изобра­жающая точка скользит по линии переключения к началу координат — к равновесному состоянию. Процесс такого рода называется скользящим про­цессом.

Найдем закон движения в скользящем процессе. На линии переключения, согласно (2.9), если учесть первое из уравнений (2.7), имеет место уравнение

Решением этого уравнения является

где значения t=0 и х=х0 считаются в момент попа­дания изображающей точки на линию скользящего про­цесса. Итак, скользящий процесс происходит по экспонен­циальному закону.

Здесь важно отметить следующее. Нелинейная система второго порядка (2.7) на участке скользящего процесса вырождается в линейную систему первого порядка (2.10). При этом закон движения в скользящем процессе не за­висит от параметров прямой цепи системы и определяет­ся только коэффициентом обратной связи. Например, при начальном положении Мо (рис. 2.7) получим фазовую траекторию Мо М1 М2 М3, переходящую в скольжение по линии M3О. Такой фазовой траектории соответствует про­цесс во времени x(t), изображенный на рис. 2.9, где, как и ранее, отмечены характерные точки.

Рис. 2.9.

Найдем положение концов отрезка скользящего про­цесса А и В на фазовой плоскости (рис. 2.7). Очевидно, что в этих точках касательные к параболам совпадают с линией переключения. Это условие, согласно (2.9), можно записать в виде

тогда из уравнения фазовых траекторий (2.8) получим для точек А и В соответственно условие (2.11) в виде

Следовательно, отрезок скользящего процесса АВ тем больше, чем больше коэффициенты усиления прямой цепи и обратной связи.