В.В.Воробьев. Теория управления. Нелинейные системы автоматического регулирования и управления. Конс / ЛЕКЦИЯ25

ЛЕКЦИЯ 25. Процессы управления, сопровождающиеся вынужденными вибрациями.

План.

1. Уравнения динамики системы при наличии двух внешних воздействий.

2. Коэффициент усиления нелинейности в процессе управления.

3. Вибрационное сглаживание и вибрационная линеаризация нелинейности при помощи вынужденных вибраций.

4. Вибрационная помехоустойчивость нелинейной системы управления.

Рассмотрим случай, когда в системе при наличии переменного внешнего воздействия протекает некоторый процесс управления, а кроме того к системе приложено внешнее периодическое воздействие. Уравнение динамики системы (рис. 6.1) в этом случае получит вид

где f1(t) = B sin t, а f(t)—медленное по сравнению с f1(t) воздействие, т. е. спектр возможных частот изменения f(t) много меньше . Решение будем искать в виде

где x°(t) —тоже медленная по сравнению с x*(t) функция времени, определяющая процесс управления при наложенных на него вынужденных вибрациях х*.

Полагая, что основной процесс управления х°(t) протекает настолько медленно, что за один период колебаний х* можно приблизительно считать величину х° неиз­менной, используем прежние формулы гармонической линеаризации (4.15), а именно

где F°, q n q' вычисляются по формулам (4.16) и (4.17). Для некоторых конкретных нелинейностей эти функции приведены в лекции 13, 14 (примеры 6—10).

Подставив (6.10) u (6.9) в уравнение (6.8), разобьем его на два. Для медленных составляющих .(процесс управления) имеем

а для вибрационных составляющих

Нетрудно видеть, что неизвестные х⁰ и а могут быть определены только на основе совместного решения обоих уравнений. Если, решив уравнение (6.12), найти зави­симость а(х°) и подставить ее в выражение F°(x°, a), полученное по формуле (4.16), то найдем новую нелинейную функцию

Тогда уравнение для процесса управления (6.11) при­мет вид

Оказывается, что нелинейная функция Ф(х°) облада­ет тем свойством, что она имеет вид плавной кривой (рис. 6.8) для любых нелинейностей F(х), u том число релейных и гистерезисных. Поэтому эту функцию можно линеаризовать обычным порядком, определив крутизну в начале координат (рис. 6.8):

Рис. 6.8.

Но согласно (6.13) имеем

а согласно (4.16)

так как произведение четной функции на нечетную ин­тегрируется за период. В соответствии с этим вместо (6.15) получаем важный результат:

Это значит, что для определе­нии kн не нужно находить за­висимости а(х°) и строить новую нелинейную функцию Ф(х°), а достаточно взять част­ную производную по х° от име­ющегося для каждой нелиней­ности выражения F°(x°,а).

С заменой (6.15) уравнение для процесса управления (6.14) принимает вид линейного уравнения

где kн — коэффициент усиления нелинейности в процессе управления, определяемый по формуле (6.18). Например, Для идеальной релейной характеристики (см. лекции 13, 14)

получим

где ас — амплитуда симметричных вынужденных колебаний в данной системе, найденных согласно лекции 24.

Для релейных характеристик с зоной нечувствитель­ности и с петлей, дифференцируя (4.31), находим

На рис. 6.9 представлена зависимость коэффициента kн, от амплитуды симметричных вынужденных колебаний.

Рис.6.9.

Рис. 6.10

Аналогично для релейной характеристики общего вида (рис. 6.10) получаем

Для кусочно-линейной характеристики с зоной не­чувствительности (рис. 6.11) имеем

а для характеристики с насыщением (рис. 6.12)

Итак, пользуясь значениями коэффициента усиления kн, мы можем определять процесс управления в нелиней­ной системе по линейному уравнению (С. 19) на базе линейной теории. Однако при этом надо учитывать, что коэффициент kн, имеет необычные свойства. В самом де­ле, как видно из формул (6.20)—(6.24), он зависит от амплитуды симметричных вынужденных колебаний ас.

Рис.6.11.

Рис.6.12.

Эта амплитуда в свою очередь, согласно лекции 24, зависит от структуры и параметров линейной части системы (ki, Ti) и еще, что очень важно, от амплитуды В и частоты  внешнего вибрационного воздействия. Поэтому при синтезе системы (6.19), т. е. при выборе ее структуры и параметров надо знать зависимость

а зная (или выбирая) внешнее вибрационное воздейст­вие. надо учитывать также зависимость

Итак, процесс управления при наложенных на него вынужденных вибрациях исследуется по линейному Уравнению (6.19) без определения зависимости а(х°). Однако если все же необходимо определить величину амплитуды а(х⁰) , то аналогично уравнению (6.5) реше­ние уравнения (6.12) запишется в виде

где

Графическое решение получается, как показано на рис. 6.2, с той только разницей, что здесь строится, се­рия кривых Z(a) для разных значений х°. В результате на пересечениях этих кривых с окружностью радиуса В и определяется искомая зависимость а (х°). Тогда можно, согласно (6.15), найти и нелинейную функцию Ф(х°), если необходимо учесть эту нелинейность в урав­нении процесса управления (6.16).

В связи с изложенным па практике часто возникают следующие две важные частные задачи.

Задача 1. Вибрационное сглаживание и вибрацион­ная линеаризация нелинейности при помощи вынужден­ных вибраций. Свойство плавности функции Ф(х°) (рис. 6.8) как характеристики прохождения медленного сигнала в процессе управления х°(t) через нелинейное

Рис.6.13.

звено при любом очертании нелинейности F(x), имею­щей скачки и петли, называется вибрационным сглажи­ванием нелинейности для процесса управления при на­личии вынужденных вибраций. Поскольку за счет этого возникает возможность обычной линеаризации получен­ной сглаженной характеристики (рис. 6.8) в виде Ф = kн x°, то говорят также о вибрационной линеаризации нелинейности.

В технике вибрационное сглаживание применяют следующим образом. Непосредственно у входа нелиней­ного звена (например, релейного элемента), как показа­но на рис. 6.13, прикладывается внешнее вибрацион­ное воздействие f(t) =B sin t с частотой выше полосы пропускания линейного звена 2. Тогда вынужденные вибрации локализуются во внутренней части системы.

Сигнал на входе нелинейности имеет вид

причем

Отсюда следует, что амплитуда аc и фаза  симметрич­ных вынужденных вибраций переменной х равны соот­ветственно аc = В,  = 0.

Таким образом можно ликвидировать гистерезисную петлю или зону нечувствительности реле (рис. 6.9) и получить для сигнала управления, согласно (6.21), ли­нейную .характеристику с коэффициентом

или же ликвидировать зону нечувствительности (рис. 6.11), получив

Аналогично можно преобразовать сухое трение в трение, пропорциональное скорости, и т. п.

Величину kн можно регулировать амплитудой В внешнего воздействия, не выводя ее, конечно, за допу­стимые пределы. Кроме того, амплитуда В должна быть во всяком случае больше максимально возможного значения сигнала х⁰, до которого хотят обеспечить линей­ность характеристики. Например, для петлевой релейной характеристики (рис. 6.9), согласно (4.31), должно быть Вb+х⁰.

Задача 2. Вибрационная помехоустойчивость нели­нейной системы управления. Пусть в уравнении нелинейной системы (6.8) f1 (t) = B sin t представляет внешнюю вибрационную помеху (например, со стороны изгибных вибраций корпуса летательного аппарата, воспринимаемых гироскопом вместе с полезным сигналом по углу тангажа). Характеристическое уравнение систе­мы для полезного сигнала в процессе управления, согласно (6.19), имеет вид

где коэффициент kн, зависит (см. (6.26)) от амплитуды В и частоты  внешней вибрационной помехи. Следо­вательно, от этих параметров помехи будет зависеть ка­чество процесса управления и даже устойчивость системы.

Таким образом, если устойчивость чисто линейной системы, как мы знаем, не зависит от внешнего воз­действия, то в нелинейной системе устойчивость может от него зависеть. Предельное значение амплитуды вибрационной

Рис. 6.14.

помехи В, до которой система остается еще устойчивой, называется границей вибрационной помехо­устойчивости системы.

В качестве примера определим вибрационную поме­хоустойчивость самолета с автопилотом. Схема системы изображена на рис. 6.14, а, где 1 — измерители, 2, 4 — привод с обратной связью, 3—корпус самолета. Уравне­ние углового движения самолета по тангажу

где  — отклонение самолета по тангажу,  - отклоне­ние руля. Уравнение измерителей

где f(t) = В sin t — вибрационная помеха (например. измерение гироскопом изгибных вибраций корпуса са­молета), g(t) —медленное управляющее воздействие. Уравнение привода руля

где F(x) —нелинейное ограничение скорости привода (рис. 6.14,6).

Если Т = 0,08 с, а частота вибраций  = 100 с^-1 , амплитуда вынужденных вибраций на выходе привода руля будет ослаблена в 800 раз. Поэтому можно счи­тать, что вибрации туда не проходят. Следовательно, амплитуду симметричных вынужденных колебаний на входе нелинейности х можно вычислить по формуле

и для данной нелинейности (рис. 6.14,6), согласно (6.24), получаем

Уравнение привода руля для процесса управления вместо (6.27) примет вид

Характеристическое уравнение всей системы для процесса управления будет иметь пятую степень:

Предпоследний определитель Гурвица

при некоторых числовых значениях параметров системы принимает вид

График зависимости 4(kн) изображен на рис. 6.15, а. Условие устойчивости 4 > 0 выполняется при kн > 13,7. Легко проверить, что при этом положительны и остальные определители Гурвица: их положительность сводится к положительности всех коэффициентов урав­нения и неравенству а1 а2 - а0 а3 > 0.

Из формулы (6.28) находим максимально допустимую амплитуду внешней вибрационной помехи до условию устойчивости kн > 13,7 в виде

где b = 0,5, k1 = 0,9, k2 = 0,4,  = 100, kн min = 13,7, k = 80.

Если при этом расчете системы надо выбрать, например, наилучший коэффициент обратной связи привода koc то указанные вычисления надо провести для разных

Рис. 6.15.

значений koc, определяя каждый раз граничную величи­ну kн min. Результаты такого расчета приведены в виде графика на рис. 6.15, б. Этот графин дает границу по­мехоустойчивости системы по коэффициенту kн, которую по выше написанной формуле легко пересчитать на до­пустимую амплитуду Вmax внешней вибрационной помехи.