В.В.Воробьев. Теория управления. Нелинейные системы автоматического регулирования и управления. Конс / ЛЕКЦИЯ7

ЛЕКЦИЯ 7. Система с логическим управлением. Учет временного запаздывания.

План.

1. Описание системы угловой стабилизации объекта.

2. Исследование работы системы управления в случае отсутствия запаздывания сигналов по всей цепи звеньев.

3. Учет временного запаздывания в системе управления.

Рассмотрим автоматическую систему угловой стабили­зации объекта в среде без сопротивления (стабилизация аппарата в космосе). Структурная схема системы изображена на рис. 2.10. Уравнение динамики объекта, т. е. уравнение вращения объекта вокруг своей оси, имеет

где J- момент инерции, - угловая скорость, М- вращающий момент со стороны системы управления. Будем считать, что вследствие некоторых внешних возмущений объект начал вращаться (например, в результате неидеальности процесса отделения от носителя при запуске), и рас­смотрим его стабилизацию с по­мощью системы управления при от­сутствии внешних возмущений.

Рис. 2.10.

Система управления (рис. 2.10.) состоит из двух измерителей: изме­рителя угла  и измерителя уг­ловой скорости , с которых сигна­лы u1 и u2 снимаются в релейной форме, показанной на рис. 2.11. Эти сигналы поступают в логическое устройство, вырабатывающее нели­нейный закон управления в виде некоторой логической функции Ф(,), которая служит управляющим воздействием на включение и выключение газовых сопел, создающих вращательный момент М.

Логическая управляющая функция Ф(,) может быть сформирована в различных видах. В простейшем случае можно сформировать ее, как показано на рис. 2.12, использовав для переключении скачки сигналов u1 и u2 (рис. 2.11) при = ±b1 и =±b2. При этом Ф=1 соответствует созданию управляющего момента в поло­жительном направлении (против часовой стрелки), Ф= -1 - в отрицательном направлении и Ф=0 - отсут­ствию момента (все сопла выключены).

Указанный выбор логической функции Ф диктуется следующими соображениями. В нулевой зоне -b1<< b1 (рис. 2.11 и 2.12) сигнала от датчика угла уста­навливаем Ф = 0, так как объект находится вблизи требуемого положения =0, и регулирующее воздействие не требуется. В I квадранте (рис. 2.12) имеем >0 и =d/dt >0. Следовательно, угол  увеличивается во времени - объект уходит от требуемого положения. Здесь устанавливаем Ф= -1 (направление вращающего мо­мента противоположно направлению угловой скорости ).

Рис. 2.11.

Аналогично в III квадранте, где знаки  и  отрицатель­ные, включается Ф = +1.

Что касается IV квадранта (рис. 2.12), то там >0 и =d/dt <0, т. е. объект сам возвращается к тре­буемому положению =0. Здесь можно обой­тись без управляющего момента. Устанавливаем Ф=0. Границей между областью Ф= -1 (в I квадранте) и областью Ф=0 (в IV квадранте) назначаем величину = -b2 (рис. 2.12), когда сигнал с датчика угловой скорости имеет перескок с нуля к отрицательному значению (рис. 2.11).Ана­логично поступаем и во II квадранте (рис. 2.12).

Рис. 2.12.

В соответствии с этой схемой строится логическое устройство (рис. 2.10). Его функционирование можно описать таблицей выходного сигнала Ф в зависимости от входных:

Сигнал U2 от 	Сигнал U1 от 
	-	0	+
-	+1	0	0
0	+1	0	-1
+	0	0	-1

Здесь приведен пример простейшей логики формиро­вания закона управления. Можно выбирать и другие, более сложные, в зависимости от требований, предъяв­ляемых к системе по экономичности, точности, быстродей­ствию и т.п.

Рассмотрим идеальную работу системы управления (без запаздывания сигналов по всей цепи звеньев). В этом случае уравнение системы управления запишется в виде

где М1=const - величина управляющего момента, ко­торый создается включаемыми на постоянную тягу га­зовыми соплами; Ф(,) - логический закон управления, определяемый в данном случае приведенной выше таб­лицей или согласно графику рис. 2.12.

Общее уравнение системы, согласно (2.12) и (2.13), можно записать в виде

Физический смысл величины с — постоянное угловое ус­корение вращения объекта под действием момента M1. Дифференциальное уравнение фазовых траекторий:

Фазовую плоскость ограничим по оси абсцисс значения­ми -     (рис. 2.13), причем для вращающегося тела точки (=± совпадают.^*)*) Этим охватывается полный оборот объекта.

В области, где Ф= -1 (рис. 2.13), уравнения (2.15)

принимают вид

вследствие чего фазовые траектории являются параболами

В области, где Ф= +1, имеем фазовые траектории

Наконец, в области, где Ф == О, получаем прямые линии

Все указанные траектории приведены на рис. 2.13.

Рис. 2.13.

Рассмотрим ход процесса. Пусть начальные условия определяются точкой N0 (рис. 2.13). Процесс пойдет согласно фазовой траектории N0 - 1 - 2. Точка 2 (=+) при вращении совпадает с точкой 2' (= -). Поэтому дальше процесс пойдет в соответствии с фазовой траекторией 2 – 3 – 4 – 5. Как видно из рис. 2.13, точка N1, в которой угол  равен начальному (в точке N0), означает, что объект совершил один полный оборот. За­тем (траектория N1 –3 –4 –5) он начал колебательное движение около своей оси. Начиная с точки 5, получаем замкнутую фазовую траекторию 5 –6 –7 –8 –5. Следо­вательно, объект входит в установившийся автоколеба­тельный режим с амплитудой

Своеобразие этого предельного цикла состоит, во-пер­вых, в том, что снаружи фазовые траектории приближа­ются к нему не асимптотически, как было ранее в дру­гих задачах, а за конечное число колебаний (и за ко­нечное время). В описанном выше процессе это было за один оборот плюс один размах колебания. Своеобразие этого предельного цикла заключается также в том, что фазовые траектории внутри него тоже замкнутые и окру­жают отрезок равновесия DE. Поэтому при малых на­чальных отклонениях, лежащих внутри предельного цик­ла, получаются периодические колебания, определяемые начальными условиями. В частности, состояние равнове­сия, возможное только при 0=0 и -b1<0<b1, не является устойчивым. Особый отрезок DE имеет здесь свойства, аналогичные особой точке типа «центр» (рис. 1.17). Итак, установившимся режимом в данной системе являются автоколебания с амплитудой (2.19).

Введем теперь в рассмотрение временное запаздыва­ние в системе управления. Пусть 1 - величина запазды­вания при включении газовых сопел, а 2 - при их вы­ключении (2>1). Поскольку к линии включения со­пел (=b1) (рис. 2.13) объект подходит с постоянной ско­ростью (горизонтальные фазовые траектории), то за счет запаздывания включения сопел 1 он перейдет за эту линию на величину =1. Это значит, что ли­ния включения займет теперь в координатах (,1) на­клонное положение (рис. 2.14). Аналогично и в III квад­ранте.

К линии же выключения сопел = -b2 объект под­ходит с постоянным ускорением — с (параболическая фазовая траектория). Поэтому за счет запаздывания выклю­чения сопел та он перейдет за эту линию на величину = -с2. Следовательно, линия выключения сопел = -b2 сместится вниз (рис. 2.14). Аналогично в ле­вой полуплоскости линия выключения =b2 сместится вверх на величину =c2.

Рис. 2.14.

В соответствии с этим на рис. 2.14 нанесены фазовые траектории. Видно, что предельный цикл за счет запаз­дываний увеличился в размерах. Амплитуда его

вместо прежней (2.19).

Изменится картина фазовых траекторий и внутри предельного цикла. Там включение сопел будет происхо­дить на линиях FG и F1G1. Выключение же - на линиях FH и F1H1 которые получаются от перехода парабол за линии (=±b1 на =c2 соответственно, причем отрезок  (рис. 2.14) определяется по формуле

В результате внутри предельного цикла получаются рас­ходящиеся спиралевидные фазовые траектории. Это соответствует расходящимся колебаниям системы, переходя­щим в предельный цикл. Здесь, как и в предыдущем случае, система попадает в автоколебательный режим изв­не не асимптотически, а за конечное число колебаний.

Рассмотренный подход к учету на фазовой плоскости временного запаздывания в системе эквивалентен в ка­кой-то степени исследованию некоторых свойств системы выше второго порядка. Примерно таким же образом мо­жет влиять на поведение системы учет постоянных времени в системе управления.

Аналогичным способом можно производить учет вре­менного запаздывания и в релейных системах автомати­ческого управления.

*⁾ Поскольку по оси абсцисс откладываются значения -     т.е. значения угла поворота тела вокруг оси, то мы фактически получаем цилиндрическую фазовую поверхность, которая здесь развёрнута на плоскость.