ryady_metod_ukazaniya_kgasu_5354
.pdf
6.РазложениеврядМаклорена некоторых функций
1)Для функции f (x) = ex найдем производные
|
′ |
x |
= |
|
′′ |
|
|
f |
(n) |
(x) = . |
|
|
|
|
|||
|
f (x) = e |
|
|
f (x) = = |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Вычислим значения функции и всех её производных при |
x = 0 , по- |
||||||||||||||||
лучим одинаковые значения |
f (0) =1 = f (0) = f |
|
(0) = = f |
|
(0) = . Таким |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
|
′′ |
|
(n) |
|
|
||
образом, ряд Маклорена для функции f (x) = ex имеет вид |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
1+ |
x |
+ |
x2 |
+ + |
xn |
+ . |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
n! |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1! |
2! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Легко вычислить |
радиус |
|
|
сходимости |
|
этого |
ряда. |
Поскольку |
|||||||||
an =1 n!, an+1 =1 (n +1)!, то |
L = limn→∞(n! (n +1)!)= limn→∞(1 (n +1))= 0, R = ∞, т.е. |
||||||||||||||||
ряд сходится для любого значения |
|
x (−∞,+∞) . Поэтому согласно необхо- |
|||||||||||||||
димого признака сходимости (теорема 1) для любого фиксированного x
справедливо соотношение xn+1 (n +1)!→ 0 |
при n → ∞ , следовательно, |
||||
lim |
eς |
|
|
xn+1 |
= 0 , |
|
|
|
|||
n→∞ (n +1)! |
|
|
|||
т.е. условие (14) |
выполнено для любого ς , разделяющего начало |
|||||||
координат и точку x . Последнее доказывает справедливость формулы |
||||||||
ex |
=1+ |
x |
+ |
x2 |
+ + |
xn |
+ , x (−∞,+∞), |
(15) |
|
2! |
|
||||||
|
1! |
|
n! |
|
||||
разложения функции ex |
в ряд Маклорена. |
|
||||||
2)Для функции f (x) = sin x можно доказать справедливость следующей формулы разложения в ряд Маклорена
|
sin x = x − |
x3 |
|
+ |
|
x5 |
− +(−1)n−1 |
|
|
x2n−1 |
|
|
+ , |
|
x (−∞,+∞). |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(2n −1)! |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
3! |
|
|
5! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Если |
взять f (x) = cos x , то аналогично можно доказать формулу раз- |
||||||||||||||||||||||||||
ложения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos x =1− |
|
|
x2 |
+ |
|
x4 |
|
− +(−1) |
n |
|
x2n |
|
+ , |
|
x (−∞,+∞). |
|
|||||||||
|
|
|
|
2! |
|
4! |
|
|
|
(2n)! |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3) Для функции |
|
f (x) = (1+ x)a , где a −любое число, справедливо разло- |
|||||||||||||||||||||||||
жение в ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
a(a −1) |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
a(a −1) (a − n +1) |
|
n |
|
|
, |
|||||||||
(1+ x) |
=1+ 1! x |
+ |
2! |
|
x |
|
+ + |
|
n! |
|
|
|
|
|
x |
|
+ , |
x (−1,+1) |
|||||||||
который называется биноминальным.
- 11 - |
5354.ru |
4)Для функции f (x) = ln(1+ x) справедливо следующее разложение в ряд
|
x2 |
x3 |
n xn+1 |
|||
ln(1+ x)= x − |
|
+ |
|
− +(−1) |
|
+ , x (−1,1] . |
2 |
3 |
n +1 |
||||
5)Для функции f (x) = arctg x справедлива формула разложения в ряд Маклорена
|
|
x3 |
|
x5 |
|
|
|
|
|
n−1 x2n−1 |
|
|
|
||||||
arctg x = x − |
|
+ |
|
|
|
− +(−1) |
|
|
|
+ , |
x [−1,1]. |
||||||||
3 |
5 |
|
|
2n −1 |
|||||||||||||||
6) Для функции |
f (x) = ln |
1+ x |
|
|
справедливо следующее разложение в |
||||||||||||||
|
|
|
|
1− x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1+ x = 2 |
x + |
x |
3 |
|
|
x |
5 |
|
x |
2n−1 |
|
x (−1,1) . |
||||||
ln |
|
|
+ |
+ + |
+ , |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
1− x |
|
3 |
5 |
|
2n −1 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. Применениерядов к приближенным вычислениям.
Разложение функции вряд применяется при приближенном вычислении значений функций. Для этого берется несколько первых членов разложения функции в ряд Тейлора, остальные слагаемые (их бесконечно много) отбрасываются. Погрешность вычисления равна сумме отброшенного ряда. Если этот ряд знакочередующийся, то согласно теореме Лейбница погрешность меньше абсолютной величины первого отброшенного слагаемого.
Если же отброшенный ряд не является знакочередующимся, то оценка погрешности приближенного вычисления проводится на основе формулы Тейлора. Эта формула справедлива для функций, имеющих непрерывные производные до n +1 порядка включительно, и имеет вид
f (x) = f (x0 ) + |
f ′(x0 ) |
(x − x0 ) + |
f ′′(x0 ) |
(x − x0 )2 + + |
f (n) (x0 ) |
(x − x0 )n + Rn (x) , (16) |
||
|
2! |
n! |
||||||
1! |
|
|
|
|
|
|||
в которой x0 − число, |
n −целое положительное число, а остаточный |
|||||||
член Rn (x) можно взять в виде |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
Rn (x) = |
f (n+1) (ζ ) |
(x − x0 )n+1 , |
|
||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
||
ς −некоторое число между |
x и x0 . Теперь ясно, что если взять ровно |
|||||||
n членов разложения функции в ряд Тейлора, то абсолютная величина по-
- 12 - 5354.ru
грешности вычисления равна Rn (x) , следовательно, для оценки погреш-
ности достаточно оценить сверху выражение для |
|
|
Rn (x) |
|
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Пример. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
С точностью до 0,0001 вычислить |
4 |
|
. Для этого число перепишем |
|||||||||||||||||||||||||
17 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
в виде 4 17 = 4 16 +1 = 2 1 |
+ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Применим |
формулу |
разложения |
в биноминальный |
ряд, полагая |
||||||||||||||||||||||||
x =1 16, a =1 4 , получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
1 4 |
|
|
|
1 |
|
|
1 3 |
|
|
|
|
1 3 7 |
|
|
|
||||||
|
|
|
2 1+ |
|
|
= |
2 1+ |
|
− |
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
− = |
||||||
|
|
|
16 |
4 16 |
4 |
8 16 |
2 |
4 |
8 12 16 |
3 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= 2 +0,03124 −0,00074 +0,00002 −
Для приближенного вычисления с заданной точностью достаточно взять три первых члена разложения в ряд, поскольку для знакочередующихся рядов погрешность оценивается первым отброшенным слагаемым. Таким образом,
4
17 ≈ 2 + 0,03124 −0,00074 = 2,0305 ,
причем погрешность приближенного вычисления не превосходит величины 0,00002, что меньше требуемой точности 0,0001.
Разложение в ряд применяется также при приближенном вычислении определенных интегралов.
Пример.
С точностью до 0,0005 вычислить |
0,5 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
∫ex2 dx . Нам понадобится разло- |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
жение в ряд функции ex2 , которое получится, если в формуле |
(15) заме- |
||||||||||||||||||||
нить x на x2 . Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
ex2 =1+ |
x2 |
+ |
x4 |
+ |
x6 |
+ + |
x2n |
+ , |
x (−∞,+∞). |
|
||||||||||
1! |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2! |
3! |
|
|
|
|
n! |
|
|
|
|
|||
Поскольку ряд знакоположительный, то оценка погрешности при- |
|||||||||||||||||||||
ближенного вычисления определится оценкой |
Rn (x) в формуле Тейлора |
||||||||||||||||||||
(16), которая для функции |
ex2 |
примет вид |
|
|
|
|
|||||||||||||||
ex2 =1+ |
x2 |
+ |
x4 |
|
+ |
x6 |
+ + |
x2n |
|
+ Rn (x2 ) |
, Rn (x) = |
eς |
|
(x2 )n+1 . |
|||||||
|
|
|
|
n! |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|||||||||||||||
1! |
2! |
|
3! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
На основании этой формулы запишем
- 13 - |
5354.ru |
0,5 |
|
x2 |
|
|
|
0,5 |
|
|
|
x2 |
|
|
x4 |
|
|
|
|
x2n |
|
2 |
|
|||
∫e |
|
dx = ∫ |
1 |
+ |
|
+ |
|
|
+ |
+ |
|
|
|
|
|
+ Rn (x |
|
) dx = |
||||||
|
1! |
2! |
|
n! |
|
|||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
x |
3 |
|
x |
5 |
|
|
|
|
|
x |
2n+1 |
|
|
|
|
0,5 |
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ ∫ Rn (x2 )dx |
||||||||||
= |
x + |
|
+ |
|
+ + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
3 |
10 |
|
|
|
(2n +1)n! |
|
0 |
0 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
Возьмем |
n = 2 |
и |
оценим |
погрешность |
|
0,5 |
0,5 |
x6dx ≤ e0,5 (0,5)7 |
≤ 0,0003 . |
Таким |
образом, если |
мы возьмем |
∫R2 (x2 )dx = ∫eς |
||||||
0 |
0 3! |
6 7 |
|
|
|
|
только три первых члена разложения в ряд (возьмем n = 2 ), то погрешность приближенного вычисления данного интеграла будет меньше, чем 0,0003. Следовательно,
0,5 |
x |
2 |
0,5 |
2 |
|
x |
4 |
|
|
x |
3 |
|
|
x |
5 |
|
|
0,5 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
∫e |
|
|
+ |
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
≈ 0,54479. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
dx ≈ ∫ 1+ x |
|
2! |
dx = x + |
3 |
10 |
|
|
|
|||||||||
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Заданиядлясамостоятельной работы
1. Доказать расходимость ряда ∑∞ 1+ n ,
n=1 2n −1
2. при помощи признаков Даламбера или Коши исследовать сходимость ряда
∑n∞ 3n2+1,
=1
3. при помощи признаков сравнения или интегрального признака
|
|
|
|
|
∞ |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коши исследовать сходимость ряда ∑ |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
n=1 3 |
n2 |
+ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
применяя теорему Лейбница |
доказать |
|
сходимость ряда |
|||||||||||||||
∞ |
|
2 |
+ n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑(−1)n |
(n +1) |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
n=1 |
(n +3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∞ |
1+ n |
|
|
|||
5. найти интервал сходимости степенного ряда |
|
∑ |
xn , |
||||||||||||||||
|
n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n=1 |
2 |
|
|
|||
6. |
Разложить в ряд Маклорена функцию y = |
|
9 |
|
|
, |
|
|
|
||||||||||
2 − x |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7. |
С точностью до 0,001 вычислить значение |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
23, |
|
|
|
||||||||||||||
8. |
С точностью до 0,001 вычислить интеграл |
|
0,4 |
|
|
|
|
разлагая |
|||||||||||
|
∫e−3x2 dx, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,1 |
|
|
|
|
|
|
подынтегральную функцию в ряд.
- 14 - |
5354.ru |