Основы научных исследований и техника эксперимента. Конспект лекций для студентов направления 150900
.pdf11
Искомыми параметрами являются коэффициенты А1 (а0) и А2 (а1), физический смысл которых, как известно, представляет собой соответственно значение ординаты точки пересечения аппроксимирующей прямой с осью Y и угол ее наклона к оси Х.
3.2. Нелинейная аппроксимация
Предположим, что аппроксимирующая функция имеет вид кривой второ-
го порядка
Y=а0 + a2x2.
Обращаясь к результирующей системе уравнений общего вида (7), используем лишь первое и последнее уравнения. Это объясняется тем, что именно они могут быть использованы для определения значений коэффициентов a0 и ak. Итак, для конкретного случая нелинейной аппроксимации получим:
n |
|
n |
|
|
|
a0n + a2 ∑x2i |
= ∑yi |
|
|
||
i=1 |
|
i=1 |
. |
(12) |
|
n |
n |
|
n |
||
|
|
|
|||
a0 ∑xi2 + a2 |
∑xi4 |
= ∑yi xi2 |
|
|
|
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
|
|
Если сравнить (12) и (8), то система уравнений квадратичной аппроксимации соответствует системе линейной аппроксимации при замене xi на xi2 и а1 на а2. По аналогии с методикой линейной аппроксимации введем обозначения, позволяющие упростить алгоритмизацию процесса:
n |
n |
|
∑xi2 = A ; |
∑x4i |
= B; |
i=1 |
i=1 |
|
n |
n |
2i = D. |
∑yi =C ; |
∑yi x |
|
i=1 |
i=1 |
|
Тогда для рассматриваемой нелинейной регрессии исходная система за- |
||
пишется: |
|
|
a0n + a2A =C |
|
|
a0A + a2B = D. |
|
(13) |
Система (13) идентична (9), то есть коэффициенты нелинейной модели рассчитываются по зависимостям, аналогичным (10) и (11), но с другими значениями вспомогательных переменных A…D.
a0 |
= |
CB − AD |
. |
(14) |
|
|
|
||||
|
|
nB − A2 |
|
||
a2 |
= |
AC − Dn |
. |
(15) |
|
|
|||||
|
|
A2 − nB |
|
||
Алгоритм и управляющая программа для нелинейной аппроксимации аналогичны ранее рассмотренным. Отличие заключается лишь в вычислении
12
вспомогательных переменных A…D. Графическая интерпретация аппроксимирующей кривой приведена на рис.4.
Рис.4. Нелинейная математическая модель второго порядка.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Не существует формализованных методов, позволяющих только на основании результатов эксперимента установить теоретическую математическую модель (регрессию) процесса или объекта, то есть функциональную связь между экспериментально зафиксированными факторами и откликом.
Выбор аппроксимирующей функции является субъективным этапом в методике аппроксимации.
Для расчетов коэффициентов регрессии (математической модели) наиболее часто используется достаточно простой метод наименьших квадратов. Этот метод обеспечивает минимальное суммарное квадратичное отклонение экспериментальных значений отклика от вычисленных по выбранной математической модели.
ЗАДАНИЕ. Предложите способ автоматизации выбора функции из определенного набора математических зависимостей для модели процесса или объекта, адекватной экспериментальным данным.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.
1.Бендат Дж. Тереол А. Измерения и анализ случайных процессов. М.:
Мир, 1974, 463 с.
2.Ящерицын П.И., Махаринский Е.И. Планирование эксперимента в машиностроении. Минск, «Вышейшая школа», 1985, 286 с.
13
Приложение П1. Виды математических зависимостей, используемых для аппроксимации экспериментальных данных [2].
Примечание: А – асимптота функции.
14
15
16
17
18
19
20