Р(С) = Р(А2

А3)= 1 – Р(

2

3) =

Р

событияА2 и А3 независимы

=

A

A

= 1 – Р(

2) Р(

3))=

P(

2) 1 P(A2) 1 p2, P(

3) 1 P(A3) 1 p3

=

A

А

A

A

= 1 –(1 p2)(1 p3).

И

Тогда вероятность того, что ток пройдет из точки 1 вУточку 2

Р(Е)=Р(В)∙Р(С) = р1∙(1 – (1 p2)(1 p3))=0,2∙(1Г– 0,7 ∙ 0,6) = 0,116.

Б

1.9. Формула полной вероятности

Проводится эксперимент, в р зультатеаоторого происходит событие А.

Пусть событие A может наступить вм сте с одним из несовместных событий

Hi ,i

к

1, n

, объединение

совпадает с пространством элементарных

событий , т. е. = { H1 H2

е

Hj при

i j. События Hi

... Hn }, Hi

обычно называют

тезами.

Их вероятности P( Hi ),i

предполагаются

1, n

которых

n

о

i 1

гип

известными (Hi составляют п лную группу событий и обязательным условием

л

P A| Hi , i 1, n

должно быть P(Hi) 1), и заданы условные вероятности

и

наступления со ытия A при выполнении каждой из гипотез. Тогда справедлива

следующая теорема:

i

Б

Теоремаб. Вероятность события A, которое может произойти вместе с

n

P(A)= P(Hi) P(A| Hi ).

(1.14)

i 1

Рис. 1.14

У

Р

n

n

причем

Из рисунка видно, что

A = { (AH1) (AH2) ... (AHn) },

AH

AH

при i j, т. е. события AH

A H

Г

i

j

i

i

И

основании аксиомы 3 и теоремы умножения вероятности (1.9) имеем

Б

(1.15)

P(A) = P(A Hi) = P(Hi) P(A| Hi ).

i 1

i 1

Пример.

к

В двух одинаковых коробках имеется по 100 резисторов. В 1-й – 60 рези-

сторов по 100 КОм, во 2-й 30 – резисторов по 100 КОм. Определить вероят-

е

ность того, что взятый наугад из ка ой-либоаоробки резистор будет 100 КОм.

Решение.

что

1

– выбрали

Пусть событие A – достали р зистор 100 КОм, гипотезы: H1

1-ю коробку, H2 – выбрали 2-ю коробку. Так как коробки выбирали произ-

вольно, то P(H1) = 0,5, P(H2 ) = 0,5. Условная вероятность того, что взяли ре-

2

при

выбрана 1-я коробка – P A| H = 0,6, соот-

зистор 100 КОм,

усл вии,

л

ветственно P A|

H2 =о0,3. Тогда, применяя формулу (1.14) для n = 2, получаем

P(A)= P(Hi) P(A| Hi )

= 0,45.

и

Б

i 1

б

1.10. Формула Байеса

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез Hi , i 1, n, объеди-

нение которых совпадает с

пространством элементарных событий

=

{H1 H2 ... Hn }, Hi Hj

при

i j. До проведения эксперимента

P(Hi ) P(A| Hi)

Р

P(Hi

| A)=

.

И

(1.16)

n

P(Hi) P(A| Hi)

У

Доказательство:

i 1

Г P(Hi

A)

По определению условной вероятности (1.8) P A| Hi =

, но по

P(A)

Б

а

гипотез после получения добавочной информации о ходе вероятностного экс-

перимента (событие А появилось).

к

Пример.

пересм

Вероятность дождливого дня в городе равна 0,2. Известно, что вероят-

что

Решение.

Известно

ность выиграть футбольный ма ч команде этого города в дождливый день рав-

Событие A состоитв том, что команда выиграла матч. Гипотезы: H1– шел

на 0,4, а в сухой – 0,7.

,

команда выиграла матч. Определить, что в

этот день шел дождь.

л

б

дождь, H2 – дождя не было.

и

P(H2 ) = 0,8,

1

P(H1) = 0,2

P A| H1 = 0,4 P A| H2 = 0,7. Чтобы ответить

появилось событие А.

Определим апостериорную вероятность гипотезы H с

учетом результата опыта (появилось событие А):

Б

P(H

) P(A| H

)

0,2 0,4

P H1 | A =

1

1

=

= 0,125.

P(A)

0,4 0,2 0,8 0,7

ятностное пространство

(

n

, F , P ) =[ ( , F, P)]n , в котором

n

= [ ]n ,

n n

F = [ F]n

, а вероятность P задана равенствами

n

n

P ({

... })=PP P , i, j, k = 1, 2.

(1.17)

n i j

k

i j k

Определение. Пусть ( F, P) – дискретное вероятностное пространст-

Р

во эксперимента E, { 1 2...}, Pn({ j}) Pj , j=1, 2,…, Pj

1. Пусть экс-

j 1

И

перимент проводился n раз, тогда последовательностью независимых испы-

таний называется вероятностное пространство (

n

,УF ,P ), элементарными

n n

событиями в котором являются последовательностиГ( i

i ... i

) и вероят-

1

2

k

ность для каждого элементарного события определена равенством (1.17).

Б

Последовательность независимых испыт ний называется схемой Бернул-

ли, если { 1 2}, т. е. если эксперимент имеет лишь два исхода. Обычно в

схеме Бернулли исход 1

называют успахом и обозначают соответствующую

вероятность P ( 1) P ; 2

– называюткн удачей,

P( 2) 1 P q. В серии из

n независимых испытаний в схеме Бернулли

n

состоит из 2n элементарных

событий.

е

Пусть проводится n независимых испытаний, в результате каждого испы-

тания может появ ться с бытиеA с определенной вероятностью P.

Если вероятностьособытия A в каждом испытании не зависит от исхо-

дов других испытан й, то такие испытания называются независимыми ис-

и

л

пытаниями относительно события A.

i

и

Определим вероятность того, что в результате проведения n независимых

испытан й

ытие A наступит ровно m раз, если в каждом из этих испытаний

Б

P(A) =

p. Вероятность

данное событие наступает с постоянной вероятностью

Cm

Bi = A1 A2

... Am

Am 1 ... An ,

B

i 1

A A ... A

A

A

A

...

A

(1.18)

n

1

2

m 1

m

m 1

m 2

n ,

………………………………………………………………. .

В комбинации Bi 1

(1.18) событие А наступает также m раз, а оставшиеся

n–m раз наступает событие

Р

A , только в другой последовательности. И таких

P(B )=P(A )

P(A ) ... P(A ) P(

) ... P(

) pmqn m

И

(1.19)

A

A

i

1

2

m

m 1

n

,

m

У

Cn

Г) ... P(

pmqn m

P(B

) P(A) ... P(A

) P(

A

) P(A

) P(

A

A

)

,

i 1

1

m 1

m

m 1

m 2

n

…………………………………………………………………………… .

Б

Видим, что вероятности комбинаций Bi

одинаковы. Поскольку все ком-

бинации Bi

а

(1.18) являются несовм стными, и нам все равно, в какой последо-

к

вательности появляются события A и A, то, применяя теорему сложения веро-

ятностей для несовместных собы ий B , получим

еi

Cm

n

P(B1 B2 ...) P(Bi)

= Cnm

pm qn m .

(1.20)

i 1

Это и есть

т

Бернулли, ее обычно записывают в следующем виде:

о

Pи(m) = Cm

pm qn m

=

n!

pm qn m .

(1.21)

n

n

m!(n m)!

формула

Совокупность вероятностей Pm,n , m = 0, 1,…n называется биномиальным

б

разложения

распределен ем, т. к. вероятность (1.21) является общим членом

бинома

и

n

Б

1 = (p q)n = Cnj pjqn j .

j 0

а) вероятность выхода из строя 3-х телевизоров из 10;

б) вероятность выхода из строя не менее 3-х телевизоров и не более 6;

в) вероятность выхода из строя хотя бы одного телевизора.

Решение.

а) применим формулу Бернулли (1.21): n = 10; m = 3; p = 0,2; q = 0,8;

P (3) = C3 0,23 0,87 ≈ 0,201.

10

10

б) используем теорему сложения независимых событий:

P10 (3…6) =P10 (3) +P10 (4) +P10 (5) +P10 (6) =… .

И

У

в) здесь вероятность того, что выйдет из строя или 1, или 2, Р…, или 10 те-

левизоров, удобно определить через противоположное событие – P10 (1,…,10) =

0

0,2

0

10

Г

= 1 – P10 (0) = 1 – C10

0,8 =… .

Б

1.11.1. Наивероятнейшее число наступлений события

а

при повторении испытаний

Определение. Наивероятнейшим числом m0 появления события A в n не-

зависимых испытаниях называ тся число, для которого вероятность Pn (m0 )

больше или, по крайней мере, не м квероятности каждого из остальных

возможных исходов испы

аний.ньше

соответствует вероятность

Пусть наивероятнейшему числу m0

и

n!

pm0 qn m0 .

P

(m

0

) = Cm0

pm0 qn m0 =

n

n

m0!(n m0)!

л

т

Согласно определеною наивероятнейшего числа, вероятность наступления

события A m0

+1

m0 – 1 раз не должна превышать вероятность Pn (m0 ), т. е.

Б

б

Pn

(m0 ) Pn (m0

1),

(1.22)

Pn

(m0 ) Pn (m0

1).

(1.23)

Решим неравенство (1.22) относительно m0 :

n!

pm0 qn m0

n!

pm0 1 qn m0 1,

(m0 1)!(n m0 1)!

m0!(n m0)!

q

p

,

m

np q.

n m0

m0 1

0

Решение.

И

Обозначим p = 0,01, q = 1 – p = 0,99, n

= 1000. Подставляя данные значе-

ния в (1.24), имеем

У

Р

1000 0,01 0,99 m0

1000 0,01 0,01;

9,01 m0 10,01; m0 10.

Вероятность поражения самолета

Б

P (10) = C10 (0,01)10 (0,99)990 Г0,126.

1000

1000

а

к

е

т

о

и

л

б

и

Б

но. Примеры непрерывной случайной величины:

И

1. Случайное отклонение по дальности точки падения снаряда от цели

(рис. 2.1).

У

Р

Г

Рис. 2.1

Б

Данный интервал, рис. 2.1,

xпредст вляет собой интервал рассеивания,

все числа этого интервала будут возможными зн чениями случайной величины

X – отклонения точки падения от ц ли. аОтделить и перечислить возможные

значения случайной величины X зд ськн возможно.

рывные.

принимает

2. Ошибка при измерении высоты радиолокационным высотомером.

3. Время безотказной рабо ыеелевизора.

о

Смешанной случайн й величиной называется величина, которая на од-

си

дискретные значения, а на других непре-

них участках числовой

л

Например,спец а ьныерадиотехнические сигналы,изображенные на рис. 2.2.

б

и

А

Б

результате повторения опыта при одном и том же комплексе условий. В резуль-

тате опыта, случайная величина X может принять только одно изРвозможных

У

значений {X =x1}, {X =x2 }, …, {X =xn }. Эти события являются несовместными

Гn

n

и образуют полную группу событий, т. к. никаких других событийИв результате

опыта произойти не может. Обозначим вероятности этих событий: P(X=x1)= p1,

Б

}, …, {X=xn } об-

P(X=x2 )= p2 , …, P(X=xn )= pn . Так как события {X=x1}, {X=x2

а

разуют полную группу несовместных событий, то P(X xi) pi 1. Эта

i 1

i 1

суммарная вероятность каким-то обр зом р спределена

между отдельными

е

значениями случайной величины. Дис ретн я случайная будет полностью опи-

сана с вероятностной точки зр ния, сли будет указанно,

какую вероятность

имеет каждое из событий.

т

к

Законом распределения случайной величины называется всякое соот-

о

личины могут быть разл чны. Простейшей формой задания закона распределе-

л

ния дискретной с учайной величины X является ряд распределения. Это таб-

б

возможные значения случайной величины и соот-

лица, в которой перечисленыи

ветствующие им вероятности.

и

Б

X

X=x1

X=x2

…

X=xn

P

p1

p2

…

pn