Задача № 1.3

Подбрасываются две игральные кости. Определить вероятность того, что сумма выпавших чисел превышает 10.

Решение.

Всего возможно n²=6²=36 исходов опыта.

Сумма выпавших чисел превышает 10 в следующих случаях: 6 и 5, 5 и 6, 6 и 6.

Т.е. число благоприятствующих исходов m=3. Вероятность того, что сумма выпавших чисел превышает 10 равна:

Ответ: р=0,0833.

Задача 2.27

Приведена схема соединения элементов, образующих цепь с одним входом и одним выходом. Предполагается, что отказы элементов являются независимыми в совокупности событиями. Отказ любого из элементов приводит к прерыванию сигнала в той ветви цепи, где находится данный элемент. Вероятности отказа элементов 1, 2, 3, 4, 5 соответственно равны q₁=0,1; q₂=0,2; q₃=0,3; q₄=0,4; q₅=0,5. Найти вероятность того, что сигнал пройдет со входа на выход.

Решение:

Опишем через события работу элементов цепи. Пусть событие А₁ состоит в том, что работает элемент 1, событие А₂ – элемент 2, событие А₃ – элемент 3, событие А₄ – элемент 4, событие А₅ – элемент 5.

Тогда вероятность этих событий запишется так:

р(А₁)=р₁=1-q₁=1-0,1=0,9;

р(А₂)=р₂=1-q₂=1-0,2=0,8;

р(А₃)=р₃=1-q₃=1-0,3=0,7;

р(А₄)=р₄=1-q₄=1-0,4=0,6;

р(А₅)=р₅=1-q₅=1-0,5=0,5.

Вероятности противоположных событий (т.е. того, что элементы 1, 2, 3 не работают) даны в условии:

Анализируем заданную цепь и определяем участки с последовательным и параллельным соединением.

Элементы 1, 2 и 3 соединены параллельно. Введем событие В, состоящее в том, что ток пройдет из точки 1 в точку 2; это произойдет тогда, когда будет работать или элемент 1, или элемент 2, или элемент 3. Можно записать В=А₁+А₂+А₃.

Элементы 4 и 5 соединены параллельно. Введем событие С, состоящее в том, что ток пройдет из точки 2 в точку 3; это произойдет тогда, когда будут работать или элемент 4, или элемент 4. Тогда событие С можно записать С=А₄+А₅. Рассмотрим событие D состоящее в том, что ток пройдет из точки 1 в точку 3, оно выполнится тогда, года выполнится и событие В и событие С. Событие D запишется так: D=В∙С. По условию задачи необходимо найти вероятность события D.

p(D)=р(В∙С)=р(В)∙р(С). (2.1)

Найдем вероятности, входящие в правую часть формулы (2.1):

Подставляя полученные значения в формулу (2.1), получим:

р(D)=р(В)∙р(С)=0,994∙0,8=0,7952.

Ответ: р(D)=0,7952.

Задача 3.26.

Имеются три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 20 белых шаров, во втором - 10 белых и 10 черных шаров, в третьем - 20 черных шаров. Из выбранного наугад ящика вынули шар. Вычислить вероятность того, что шар белый.

Решение:

Обозначим через А событие, что достали белый шар.

Общее число шаров равно 60.

Обозначим:

р=20/60=0, 333 –

р=20/60=0, 333 –

р=20/60=0, 333 –

Выдвигаем гипотезы:

Н₁ – достали белый шар из первой коробки. Это белый шар.

Вероятность данной гипотезы: р(Н₁)=р₁∙1=0,333.

Н₂ – достали шар из второй коробки. Это белый шар.

Вероятность данной гипотезы:

Н₃ – достали шар из второй коробки. Это черный шар.

Вероятность данной гипотезы:

Н₄ – достали шар из третьей коробки. Это серный шар.

Вероятность данной гипотезы:

Событие А однозначно произойдет при гипотезах Н₁ и Н₂, и не произойдет в остальных случаях. Следовательно условные вероятности события А равны:

р(А|Н₁)= р(А|Н₂)=1

р(А|Н₃)= р(А|Н₄)=0

По формуле полной вероятности найдем вероятность события А:

Ответ: р(А)=0,4995.

Задача 4.28

Вероятность того, что данный баскетболист забросит мяч в корзину, равна 0,9. Произведено 12 бросков. Найти вероятность того, что будет не менее 11 попаданий.

Решение:

Введем событие А – баскетболист забросит мяч в корзину.

Вероятность того, что при n=12 независимых испытаниях событие А появится не менее m=11 раз, вычислим по формуле:

=

Ответ: 0,6904.

Задача 5.20

Дискретная случайная величина Х может принимать одно из пяти фиксированных значений x1, x2, x3, x4, x5 с вероятностями p1, p2, p3, p4, p5 соответственно (значения приведены в таб. 5.1). Вычислить математическое ожидание и дисперсию величины Х. Рассчитать и построить график функции распределения.

Таблица. 5.1

Вариант	x1	x2	x3	x4	x5	p1	p2	p3	p4	p5
5.20	5	6	7	8	9	0,1	0,1	0,1	0,1	0,6

Решение.

	5	6	7	8	9
	0,1	0,1	0,1	0,1	0,6

Рассчитаем значения функции распределения для фиксированных значений , взятых из ряда распределения.

Для Х₁=5;

Для Х₂=6;

Для Х₃=7;

Для Х₄=8;

Для Х₅=9;

Для Х₆=; согласно свойствам функции распределения

Вычислим математическое ожидание дискретной СВ Х:

Вычислим дисперсию дискретной СВ Х:

Задача 6.21

Случайная величина Х задана плотностью вероятности

Определить константу С, математическое ожидание, дисперсию, функцию распределения величины Х, а также вероятность ее попадания в интервал.

Таблица 6.1

Вариант	x,c)	a	b		
6.21	c x9	0	1	0	0,25

Решение:

Вычислим значение константы с из условия нормироввки.

Из условия нормировки следует:

Плотность вероятности примет вид:

Определим функцию распределения F(x). Так как плотность вероятности задана разлисными формулами на разных интервалвх, то и ее первообразную – функцию распределения – будем искать для каждого интервала в отдельности.

Для x<0;

Для ;

Для ;

Окончательно имеем:

Вычислим вероятность

Вычислим математическое ожидание

Вычислим димперсию: