32. Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье. Понятие о спектре

Пусть – периодическая функция T=2l,

Понятие о спектрах

Функция вида .

A – амплитуда, wt – фаза колебания, – начальная фаза,w – круговая частота

Функция вида –гармоника,т.к.

Любой периодический сигнал T=2l, удовлетворяющий условиям Дирихле, представляется в виде такой суммы иn-ых гармоник, характеристики которых выражаются через коэффициенты ряда Фурье.

–называется n-й комплексной гармоникой.

–сопряженный;,n=0,1,2…

О. Последовательность – называется амплитудным спектром сигналаf(t) с периодом 2l

Последовательность называется фазовым спектром сигналаf(t)

f(t)=I(t) – сила тока, T=2l, R=1 – сопротивление.

Энергия сигнала равна работе. – энергия сигнала

Амплитудный спектр сигнала f(t) несет всю информацию о энергии сигнала и показывает как она … по частотам.

33. Интеграл Фурье. Комплексная форма интеграла Фурье

2l – периодическая функция.

f(x) – непериодическая функция, задана (-∞;+∞)

Считаем f(x) периодической с T=2l+∞

f(x) – абсолютно интегрируема на (-∞;+∞),т. е. и конечен,

L’(-∞;+∞)- класс абсолютно интегрируемых функций.

Пусть f(x) на каждом конечном отрезке является кусочно-гладкой, т. е. удовлетворяет условиям теоремы Дирихле. Выражение – называют интегралом Фурье дляf(x);

T Пусть функция f(x) является кусочно-непрерывной и кусочно-гладкой для любого отрезка [-l; l] и абсолютно интегрируемой на (-∞;+∞). Тогда интеграл Фурье I(x) сходится в каждой точке и справедливо

1. I(x)=f(x), если x – точка непрерывности функции f(x)

2. , если x – точка разрыва 1 рода функции f(xb)

Замечания:

1. Если f(x) – четная, то b(w)=0; a(w)=;

Если f(x) – нечетная, то a(w)=0; b(w)=;

2. f(x) абсолютно интегрируема на .

Можно продолжить f(x) на , либо четным образом, либо нечетным.

b(w)=0; a(w)=

Пусть x=0, – Интеграл Дирихле

Интеграл Фурье задает непериодическую функцию суммой бесконечно большого числа гармоник, близких по частоте.

Комплексная форма интеграла Фурье

(сходится в смысле p.)

–Комплексная форма интеграла Фурье

34. Преобразования Фурье. Косинус- и синус- преобразования Фурье

Пусть f(x)L’(-∞;+∞) – (абсолютно интегрируемая функция) кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая на любом отрезке [-l, l], тогда почти во всех точках f(x):

–спектральная плотность функции f(x) ; - амплитудный спектр;– фазовый спектр.

Пусть f(x) – нечетная функция ,

- четная функция,

, где g(x) - четная, h(x) – нечетная

;

35. Преобразование Лапласа, оригинал и изображение. Основные теоремы операционного исчисления

Операционное исчисление – один из методов математического анализа, позволяющий в ряде случаев сводить исследование дифференциальных и некоторых типов интегральных операторов и решение уравнений, содержащих эти операторы, к рассмотрению более простых алгебраических задач.

Методы операционного исчисления предполагают реализацию следующей условной схемы решения задачи.

1. От искомых функций переходят к некоторым другим функциям – их изображениям.

2. Над изображениями производят операции, соответствующие заданным операциям над самими функциями.

3. Получив некоторый результат при действиях над изображениями возвращаются к самим функциям.

В качестве изображения, позволяющего перейти от функции к их изображениям, будем применять так называемое преобразование Лапласа.

Преобразование Лапласа

Пусть f(t) – действительная функция действительного переменногоt( подtбудем понимать время или координату)

Функция f(t) называетсяоригиналом, если она удовлетворяет следующим условиям:

1. f(t) 0 приt<0.

2. f(t) – кусочно-непрерывная приt0, т. е. она непрерывна или имеет точки разрываIрода, причем на каждом конечном промежутке осиtтаких точек лишь конечное число.

3. Существуют такие числа M>0 иs₀0, что для всехtвыполняется неравенство |f(t), т. е. при возрастанииtфункцияf(t) может возрастать не быстрее некоторой показательной функции.

Условия 1-3 выполняются для большинства функций, описывающих различные физические процессы.

Первое условие означает, что процесс начинается с какого-то момента времени, удобнее считать, что в момент t=0. Третьему условию удовлетворяют ограниченные функции (для них можно положитьs₀= 0), степенныеtⁿ (n>0) и другие ( для функций видаf(t) =условие 3 не выполняется). Не является оригиналом, например, функцияf(t) =( не удовлетворяет второму условию).

Замечание: Функция f(t) может быть и комплексной функцией действительного переменного, т.е. иметь видf(t)=f₁(t)+if₂(t); она считается оригиналом, если действительные функцииf₁(t) иf₂(t) являются оригиналами.

Изображением оригиналаf(t) называется функцияF(p) комплексного переменногоp=s+i, определяемая интегралом

Операцию перехода от оригинала f(t) к изображениюF(p) называютпреобразованием Лапласа. Соответствие между оригиналомf(t) и изображениемF(p) записывается в виде(принято оригиналы обозначать малыми буквами, а их изображения – соответствующими большими буквами).

T1 (Существование изображения). Для всякого оригиналаf(t) изображениеF(p) существует (определено) в полуплоскостиRep=s>s₀, гдеs₀– показатель роста функцииf(t), причем функцияF(p) является аналитической в этой полуплоскости (s>s₀)/

Следствие T1.(Необходимый признак существования изображения). Если функцияF(p) является изображением функцииf(t) , то

Т2 (О единственности оригинала). Если функцияF(p) служит изображением двух оригиналовf₁(t) иf₂(t), то эти оригиналы совпадают друг с другом во всех точках, в которых они непрерывны.

Свойства преобразования Лапласа:Линейность, подобие, смещение, запаздывание.