29. Неравенство Бесселя. Равенство Парсеваля-Стеклова. Полнота и замкнутость ортогональной системы функций

и – неравенство Бесселя

для ортогональных систем

4)(?) f(x)L₂[a, b] , f(x)~, C_k=

T Для того, чтобы обобщенный ряд Фурье – сходился в среднем к функцииf(x) на отрезке [a, b], необходимо и достаточно, чтобы неравенство Бесселя обращалось для f(x) в равенство, т.е. и

Доказательство:

Ряд сходится в среднем на [a, b], если

,

–равенство Парсеваля – Стеклова

. Ортогональная система функций (­₀, ­₁, ­₂, …, ­_n) в пространстве L₂[a, b] называются полной, если для выполняется равенство Парсеваля-Стеклова

E³ – Евклидово 3хмерное пространство, E³(– ортонормированный базис |e_i­ | = 1

, ,

–теорема Пифагора для пространства E³.

В ортонормированном базисе ||f||²=– теорема Пифагора в бесконечномерном пространстве.

Вывод: Любая функция f(x) принадлежащая пространству L₂[a, b] может быть разложена в сходящийся к ней в среднем ряд Фурье по ортогональной на отрезке [a,b] системе функций, если эта система является полной в пространстве L₂[a, b].

30. Тригонометрические ряды Фурье для периодических функций. Признак сходимости тригонометрического ряда Фурье (теорема Дирихле)

Пусть f(x) кусочно непрерывная функция, периодичная с периодом T=2l , [-l,l]

Пример:

), где ||1||=

f(x)~==

(солнышко)

О. Тригонометрический ряд , коэффициенты которого определены по формулам (солнышко) называется тригонометрическим для периодичной функции f(x).

Если f(x) четная, то , если нечетная, то

Если f(x) – четная, то

Если f(x) - нечетная, то

Уравнение Ляпунова

Т. основная тригонометрическая система функций является полной в пространстве .

- число ⇒ сходитcя ⇒ a→ 0, n→ ,b→ 0, n→

Признаки сходимости тригонометрических рядов Фурье

1. кусочно-непрерывная функция f(x) называется кусочно-гладкой на [a,b], если её производная имеет конечное число точек разрыва 1 рода и существует правосторонняя производная в точке A и левосторонняя в точке B.

T1 Если функция f(x) т. е она кусочно-непрерывна на[-l, l], то тригонометрический ряд Фурье сходится к f(x) в среднем.

Т2 (Дирихле) Если f(x) является кусочно гладкой на [-l, l], то её тригонометрический ряд Фурье сходится в каждой точке этого отрезка для суммы S(x) ряда Фурье :

1. S(x) = f(x), если x - точка непрерывности функции f(x)

2. S(, еслиточка разрыва 1 рода функции f(x)

3. S(-l) = S(l)=

T3 Если функция f(x) яфляется кусочно гладкой и непрерывной на [-l, l] и f(l)=f(-l), то и тригонометрический ряд Фурье сходится к f(x) на [-l, l] равномерно.

Разложение в ряд Фурье четных и нечетных ф-ций на интервале .

1. Пусть функция f(x) – четная, т. е. f(-x)=f(x).

Значит: ;

Ряд Фурье для четных функций – ряд только по косинусам:

2. Пусть функция f(x) – нечетная, т. е. f(-x)=-f(x).

Значит:

Ряд Фурье для нечетных функций – ряд только по синусам.

31. Разложение непериодических функций в тригонометрический ряд Фурье. Ряд Фурье только по косинусам или только по синусам

f(x) – непериодичная функция

Вместо функции f(x) рассматривают функцию f*(x) с периодом 2l, причем [a, b][-l, l] и на [a, b] функция f*(x) совпадает с функцией f(x).

Поскольку функция f*(x) –периодическая, то её разлагают в ряд Фурье.

Рассмотрим один важный случай, пусть функция f(x) задана на интервале (0, l). Её надо доопределить на интервале (-l, 0). Можно это сделать двумя способами: четным и нечетным. В первом случае мы получаем ряд Фурье только по косинусам, во втором – только по синусам.

1) Пусть f(x) задана на (0, l). Доопределим её четным образом. Функция будет выглядеть так:

Пусть f(x) задана на (0, l). Доопределим её четным образом. Функция будет выглядеть так: